- Um disco homogêneo de raio
massa 10 kg gira com velocidade angular constante de
em torno de seu centro. Calcule o momento angular do disco. Qual seria a nova velocidade angular se o raio do disco fosse dobrado, mantendo a mesma massa e energia cínética rotacional?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) calcular o momento angular do disco; (ii) encontrar a nova velocidade angular se o raio for dobrado mantendo a mesma massa e a mesma energia cinética rotacional.
Dados fornecidos: ,
(eu interpretei o
como
), e
.
Dados fornecidos:
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar a relação que liga momento angular
, momento de inércia
e velocidade angular
. A fórmula é
Aqui
é o momento angular (unidade
),
é o momento de inércia em torno do eixo (unidade
) e
é a velocidade angular (unidade
). Vou usar essa fórmula para responder a primeira pergunta.
Passo 3
Para um disco homogêneo girando em torno de seu centro existe uma fórmula padrão para o momento de inércia:
Explico rápida e intuitivamente: o momento de inércia mede “como a massa está distribuída em relação ao eixo”; para um disco uniforme a constante
já vem do cálculo integral da distribuição de massa (não precisamos recomputar o integral na prova se soubermos essa fórmula).
Passo 4
Agora calculamos numericamente
com os dados do enunciado:
Faça passo a passo:
. Então
Passo 5
Com
em mãos usamos
. Substituindo os valores:
Interpretação: esse é o momento angular do disco na situação inicial.
Passo 6
Agora a segunda parte: o raio é dobrado para
(ou seja
), a massa
permanece igual, e a energia cinética rotacional
deve ser a mesma. A fórmula da energia cinética de rotação é
Vou usar igualdade de energias entre a situação inicial e a nova para encontrar
.
Passo 7
Calcule o novo momento de inércia
quando
é o dobro:
Ou seja, dobrar o raio faz o momento de inércia ficar 4 vezes maior.
Passo 8
Igualando as energias iniciais e finais:
As metades se cancelam, então
Substituindo
:
Dividindo por
(que é não nulo):
Portanto
Com
obtemos
Como checagem rápida, a energia inicial vale
e a energia final vale
, consistente.