1. Um disco homogêneo de raio 0,5 \mathrm{me} massa 10 kg gira com velocidade angular constante de 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno de seu centro. Calcule o momento angular do disco. Qual seria a nova velocidade angular se o raio do disco fosse dobrado, mantendo a mesma massa e energia cínética rotacional?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular o momento angular do disco; (ii) encontrar a nova velocidade angular se o raio for dobrado mantendo a mesma massa e a mesma energia cinética rotacional.
Dados fornecidos: M=10\\ \text{kg}, R=0,5\\ \text{m} (eu interpretei o 0,5\\ \mathrm{me} como 0,5\\ \text{m}), e \omega=20\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar a relação que liga momento angular L, momento de inércia I e velocidade angular \omega. A fórmula é
L = I\,\omega.
Aqui L é o momento angular (unidade \mathrm{kg\cdot m^2/s}), I é o momento de inércia em torno do eixo (unidade \mathrm{kg\cdot m^2}) e \omega é a velocidade angular (unidade \mathrm{rad/s}). Vou usar essa fórmula para responder a primeira pergunta.

Passo 3

Para um disco homogêneo girando em torno de seu centro existe uma fórmula padrão para o momento de inércia:
I = \tfrac{1}{2}\,M\,R^{2}.
Explico rápida e intuitivamente: o momento de inércia mede “como a massa está distribuída em relação ao eixo”; para um disco uniforme a constante \tfrac{1}{2} já vem do cálculo integral da distribuição de massa (não precisamos recomputar o integral na prova se soubermos essa fórmula).

Passo 4

Agora calculamos numericamente I com os dados do enunciado:
I = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot (0,5)^{2}.
Faça passo a passo: (0,5)^{2}=0,25. Então
I = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,25 = 5\cdot 0,25 = 1,25\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Com I em mãos usamos L=I\omega. Substituindo os valores:
L = 1,25\cdot 20 = 25\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Interpretação: esse é o momento angular do disco na situação inicial.

Passo 6

Agora a segunda parte: o raio é dobrado para R' = 2R (ou seja R'=1,0\\ \text{m}), a massa M permanece igual, e a energia cinética rotacional K deve ser a mesma. A fórmula da energia cinética de rotação é
K = \tfrac{1}{2}\,I\,\omega^{2}.
Vou usar igualdade de energias entre a situação inicial e a nova para encontrar \omega'.

Passo 7

Calcule o novo momento de inércia I' quando R' é o dobro:
I' = \tfrac{1}{2}\,M\,R'^{2} = \tfrac{1}{2}\,M\,(2R)^{2} = \tfrac{1}{2}\,M\cdot 4R^{2} = 4\cdot\Big(\tfrac{1}{2}MR^{2}\Big) = 4I.
Ou seja, dobrar o raio faz o momento de inércia ficar 4 vezes maior.

Passo 8

Igualando as energias iniciais e finais:
\tfrac{1}{2}I\omega^{2} = \tfrac{1}{2}I'\omega'^{2}.
As metades se cancelam, então
I\omega^{2} = I'\omega'^{2}.
Substituindo I'=4I:
I\omega^{2} = 4I\,\omega'^{2}.
Dividindo por I (que é não nulo):
\omega^{2} = 4\,\omega'^{2}.
Portanto
\omega'^{2} = \tfrac{1}{4}\,\omega^{2}\quad\Rightarrow\quad \omega'=\tfrac{1}{2}\,\omega.
Com \omega=20\\ \text{rad/s} obtemos
\omega' = \tfrac{1}{2}\cdot 20 = 10\\ \text{rad/s}.
Como checagem rápida, a energia inicial vale K=\tfrac{1}{2}\cdot 1,25\cdot 20^{2}=250\\ \text{J} e a energia final vale \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 10^{2}=250\\ \text{J}, consistente.

Resposta

L=25\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
\omega'=10\\ \mathrm{rad/s}

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