1. Um engenheiro projeta uma estrutura metálica que inclui um eixo cilíndrico maciço (Raio R = 0,2 m, massa M = 80 kg ) e uma placa quadrada fina de aço (lado \mathrm{L}= 1,2 \mathrm{~m}, massa \mathrm{m}=20 \mathrm{~kg} ) acoplada a uma das extremidades do eixo. Determine o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo do cilindro, considerando que a placa está perpendicular ao eixo e centrada na extremidade.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo do cilindro. Informações dadas:
R=0{,}2\\ \text{m},\quad M=80\\ \text{kg}
L=1{,}2\\ \text{m},\quad m=20\\ \text{kg}
A placa quadrada é fina, está perpendicular ao eixo e está centrada na extremidade do cilindro (ou seja, o eixo passa pelo centro da placa). Precisamos somar os momentos de inércia do cilindro maciço e da placa em relação ao mesmo eixo.

Passo 2

Conceito básico: o momento de inércia I mede a resistência de um corpo à mudança de rotação em torno de um eixo. Para um sistema formado por peças rígidas conectadas, quando todas as peças têm o mesmo eixo de rotação, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada peça em relação a esse eixo:
I_{\text{total}}=\sum I_i.
Aqui as duas peças (cilindro e placa) compartilham o mesmo eixo, então basta calcular o momento de cada uma e somar.

Passo 3

Momento de inércia do cilindro maciço (eixo passando pelo centro, ao longo do comprimento): a fórmula padrão é
I_{\text{cil}}=\tfrac{1}{2}\,M\,R^{2},
onde M é a massa do cilindro e R é o raio. Vou usar essa fórmula diretamente e explicar rapidamente: a distribuição de massa num cilindro maciço em torno do eixo faz com que a constante seja 1/2 (resulta da integral da densidade multiplicada pela distância ao quadrado), mas para a prova você só precisa memorizar essa fórmula e saber o que significam M e R.

Passo 4

Calculemos I_{\text{cil}} passo a passo:
R^{2}=(0{,}2)^{2}=0{,}04\\ \text{m}^{2}.
M\cdot R^{2}=80\times 0{,}04=3{,}2\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
I_{\text{cil}}=\tfrac{1}{2}\times 3{,}2=1{,}6\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 5

Momento de inércia da placa quadrada fina, em torno de um eixo perpendicular ao plano da placa que passa pelo centro: para uma placa retangular de lados a e b e massa m a fórmula é
I=\tfrac{1}{12}\,m\,(a^{2}+b^{2}).
No caso da placa quadrada temos a=b=L, portanto
I_{\text{placa}}=\tfrac{1}{12}\,m\,(L^{2}+L^{2})=\tfrac{1}{6}\,m\,L^{2}.
Explicação curta: essa fórmula vem da soma das contribuições de cada eixo do retângulo; para o eixo perpendicular ao plano aparece a soma dos quadrados dos lados.

Passo 6

Calculemos I_{\text{placa}} numericamente:
L^{2}=(1{,}2)^{2}=1{,}44\\ \text{m}^{2}.
m\cdot L^{2}=20\times 1{,}44=28{,}8\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
I_{\text{placa}}=\tfrac{1}{6}\times 28{,}8=\frac{28{,}8}{6}=4{,}8\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 7

Somamos os dois momentos de inércia para obter o total (mesmo eixo):
I_{\text{total}}=I_{\text{cil}}+I_{\text{placa}}=1{,}6+4{,}8=6{,}4\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
Unidade: \text{kg}\cdot\text{m}^{2}, que é a unidade padrão para momento de inércia.

Passo 8

Pequeno check de sanidade: a placa é relativamente grande em comprimento (1,2 m) e sua contribuição domina sobre a do cilindro (4{,}8 vs 1{,}6), o que faz sentido fisicamente — distribuir massa longe do eixo aumenta muito I. Isso indica que o cálculo é plausível.

Resposta

I_{\text{total}}=6{,}4\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}

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