- Um engenheiro projeta uma estrutura metálica que inclui um eixo cilíndrico maciço (Raio R = 0,2 m, massa M = 80 kg ) e uma placa quadrada fina de aço (lado
, massa
) acoplada a uma das extremidades do eixo. Determine o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo do cilindro, considerando que a placa está perpendicular ao eixo e centrada na extremidade.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo do cilindro. Informações dadas:
A placa quadrada é fina, está perpendicular ao eixo e está centrada na extremidade do cilindro (ou seja, o eixo passa pelo centro da placa). Precisamos somar os momentos de inércia do cilindro maciço e da placa em relação ao mesmo eixo.
Passo 2
Conceito básico: o momento de inércia
mede a resistência de um corpo à mudança de rotação em torno de um eixo. Para um sistema formado por peças rígidas conectadas, quando todas as peças têm o mesmo eixo de rotação, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada peça em relação a esse eixo:
Aqui as duas peças (cilindro e placa) compartilham o mesmo eixo, então basta calcular o momento de cada uma e somar.
Passo 3
Momento de inércia do cilindro maciço (eixo passando pelo centro, ao longo do comprimento): a fórmula padrão é
onde
é a massa do cilindro e
é o raio. Vou usar essa fórmula diretamente e explicar rapidamente: a distribuição de massa num cilindro maciço em torno do eixo faz com que a constante seja
(resulta da integral da densidade multiplicada pela distância ao quadrado), mas para a prova você só precisa memorizar essa fórmula e saber o que significam
e
.
Passo 4
Calculemos
passo a passo:
Passo 5
Momento de inércia da placa quadrada fina, em torno de um eixo perpendicular ao plano da placa que passa pelo centro: para uma placa retangular de lados
e
e massa
a fórmula é
No caso da placa quadrada temos
, portanto
Explicação curta: essa fórmula vem da soma das contribuições de cada eixo do retângulo; para o eixo perpendicular ao plano aparece a soma dos quadrados dos lados.
Passo 6
Calculemos
numericamente:
Passo 7
Somamos os dois momentos de inércia para obter o total (mesmo eixo):
Unidade:
, que é a unidade padrão para momento de inércia.
Passo 8
Pequeno check de sanidade: a placa é relativamente grande em comprimento (1,2 m) e sua contribuição domina sobre a do cilindro (4{,}8 vs 1{,}6), o que faz sentido fisicamente — distribuir massa longe do eixo aumenta muito
. Isso indica que o cálculo é plausível.