- Um operário sobre uma plataforma giratória sem atrito gira com uma velocídade angular ínicial de
. Ele segura dois blocos de 5 kg cada, a
do eixo. Ao puxar os blocos para
do eixo, sua velocidade angular aumenta. Calcule a nova velocidade angular do
sistema. Determine a variação da energia cinética rotacional e explique de onde vem essa energia.
sistema. Determine a variação da energia cinética rotacional e explique de onde vem essa energia.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado a seguir:
Dados:
- velocidade angular inicial
. - há dois blocos, cada um com massa
. - posição inicial dos blocos em relação ao eixo:
. - posição final dos blocos em relação ao eixo:
. - plataforma sem atrito (logo, nenhum torque externo que mude o momento angular total).
Pede-se:
- Calcular a nova velocidade angular do sistema
quando os blocos são puxados para . - Determinar a variação da energia cinética rotacional
. - Explicar de onde vem a energia que aumenta a energia cinética rotacional.
Observação importante: o enunciado não fornece o momento de inércia da plataforma e do operário. Portanto vou considerar apenas a contribuição dos dois blocos (como massas pontuais) para o momento de inércia, ou seja, vamos considerar as duas massas como as que dominam a variação de momento de inércia quando são puxadas para dentro.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (com explicação didática e simples):
- Conservação do momento angular: se não há torque externo sobre o sistema, o momento angular total
é constante. O momento angular de um corpo que gira é dado por
onde
é o momento de inércia do sistema e
é a velocidade angular. Aqui
é uma grandeza que mede “quanto de rotação” o sistema tem — análogo ao momento linear
na translação.
- Momento de inércia de uma massa pontual a uma distância
do eixo:
Se houver várias massas pontuais, soma-se:
.
- Energia cinética rotacional: para um sistema rígido girante,
Isso é análogo a
na translação.
Explicação prática: ao puxar as massas para mais perto do eixo,
diminui (porque depende de
). Como não existe torque externo,
tem que permanecer o mesmo, então
aumenta para compensar a redução de
. Como
aumenta, a energia cinética rotacional pode aumentar — essa energia extra vem do trabalho realizado por quem puxa as massas (vou detalhar isso depois).
Passo 3
Calcular os momentos de inércia inicial e final dos dois blocos (somente as duas massas pontuais):
Cada bloco tem massa
. São duas massas, então o momento de inércia total é
Cálculo inicial:
Calculemos passo a passo:
Cálculo final:
Observação numérica útil: a razão dos raios é
, e como
, a razão
. De fato
.
Passo 4
Aplicar conservação do momento angular para encontrar
.
Como não há torque externo, temos
Isolando
,
Substituindo os valores calculados:
Calcule:
Portanto a nova velocidade angular é
.
Passo 5
Calcular a energia cinética rotacional inicial
e final
.
Fórmula:
Energia inicial:
Calcule
. Então
(Detalhe:
;
.)
Energia final:
Calcule
. Então
(Detalhe:
;
.)
Passo 6
Calcular a variação da energia cinética rotacional
:
Isso mostra que a energia cinética rotacional do sistema aumentou em
.
Passo 7
Explicação física de onde vem essa energia (didática e concreta, sem pular etapas):
- Conservação do momento angular garante que
aumente quando o momento de inércia diminui, mas a conservação de por si só não garante conservação da energia cinética — energia pode mudar se for feito trabalho interno no sistema. - Ao puxar os blocos para dentro, o operário aplica forças radiais sobre os blocos. Esse processo envolve deslocamento das massas na presença de forças; por isso o operário realiza trabalho. Em termos energéticos, a energia fornecida pelos músculos do operário (energia química) é transformada em energia cinética rotacional adicional do sistema.
- Intuitivamente: quando os blocos estão afastados, eles “têm tendência” a permanecer com a mesma velocidade tangencial; ao puxá-los para dentro é preciso exercer força que modifica a componente de velocidade dos blocos, e essa força faz trabalho que aumenta a rapidez angular do conjunto. Em uma referência rotativa vê-se uma força aparente (força centrífuga) que o operário precisa vencer; esse “vencer” corresponde a gasto de energia.
- Conclusão: a energia extra
vem do trabalho realizado pelo operário ao puxar os blocos para o eixo (ou seja, da energia química dos músculos transformada em energia cinética rotacional).
Resposta
A energia vem do trabalho realizado pelo operário (energia química dos músculos) ao puxar os blocos para dentro.