1. Um operário sobre uma plataforma giratória sem atrito gira com uma velocídade angular ínicial de 1,2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ele segura dois blocos de 5 kg cada, a 1,5 \mathrm{~m} do eixo. Ao puxar os blocos para 0,5 \mathrm{~m} do eixo, sua velocidade angular aumenta. Calcule a nova velocidade angular do
    sistema. Determine a variação da energia cinética rotacional e explique de onde vem essa energia.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado a seguir:
Dados:
  • velocidade angular inicial \omega_i = 1{,}2\\ \mathrm{rad/s}.
  • há dois blocos, cada um com massa m = 5\\ \mathrm{kg}.
  • posição inicial dos blocos em relação ao eixo: r_i = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • posição final dos blocos em relação ao eixo: r_f = 0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • plataforma sem atrito (logo, nenhum torque externo que mude o momento angular total).
Pede-se:
  1. Calcular a nova velocidade angular do sistema \omega_f quando os blocos são puxados para r_f.
  2. Determinar a variação da energia cinética rotacional \Delta K = K_f - K_i.
  3. Explicar de onde vem a energia que aumenta a energia cinética rotacional.
Observação importante: o enunciado não fornece o momento de inércia da plataforma e do operário. Portanto vou considerar apenas a contribuição dos dois blocos (como massas pontuais) para o momento de inércia, ou seja, vamos considerar as duas massas como as que dominam a variação de momento de inércia quando são puxadas para dentro.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (com explicação didática e simples):
  • Conservação do momento angular: se não há torque externo sobre o sistema, o momento angular total L é constante. O momento angular de um corpo que gira é dado por
L = I\,\omega,
onde I é o momento de inércia do sistema e \omega é a velocidade angular. Aqui L é uma grandeza que mede “quanto de rotação” o sistema tem — análogo ao momento linear p=mv na translação.
  • Momento de inércia de uma massa pontual a uma distância r do eixo:
I = m r^2.
Se houver várias massas pontuais, soma-se: \displaystyle I = \sum m_i r_i^2.
  • Energia cinética rotacional: para um sistema rígido girante,
K = \tfrac{1}{2} I \omega^2.
Isso é análogo a K=\tfrac{1}{2}mv^2 na translação.
Explicação prática: ao puxar as massas para mais perto do eixo, I diminui (porque depende de r^2). Como não existe torque externo, L tem que permanecer o mesmo, então \omega aumenta para compensar a redução de I. Como \omega aumenta, a energia cinética rotacional pode aumentar — essa energia extra vem do trabalho realizado por quem puxa as massas (vou detalhar isso depois).

Passo 3

Calcular os momentos de inércia inicial e final dos dois blocos (somente as duas massas pontuais):
Cada bloco tem massa m = 5\\ \mathrm{kg}. São duas massas, então o momento de inércia total é
I = \sum m r^2 = 2 m r^2.
Cálculo inicial:
I_i = 2 \cdot m \cdot r_i^2 = 2\cdot 5 \cdot (1{,}5)^2.
Calculemos passo a passo:
(1{,}5)^2 = 2{,}25,
I_i = 10 \cdot 2{,}25 = 22{,}5\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Cálculo final:
I_f = 2 \cdot m \cdot r_f^2 = 2\cdot 5 \cdot (0{,}5)^2.
(0{,}5)^2 = 0{,}25,
I_f = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Observação numérica útil: a razão dos raios é 1{,}5/0{,}5 = 3, e como I\propto r^2, a razão I_i/I_f = 3^2 = 9. De fato 22{,}5/2{,}5 = 9.

Passo 4

Aplicar conservação do momento angular para encontrar \omega_f.
Como não há torque externo, temos
L_i = L_f \quad\Rightarrow\quad I_i \,\omega_i = I_f \,\omega_f.
Isolando \omega_f,
\omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_i.
Substituindo os valores calculados:
\omega_f = \frac{22{,}5}{2{,}5}\cdot 1{,}2\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule:
\frac{22{,}5}{2{,}5} = 9,
\omega_f = 9 \cdot 1{,}2 = 10{,}8\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto a nova velocidade angular é \omega_f = 10{,}8\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a energia cinética rotacional inicial K_i e final K_f.
Fórmula:
K = \tfrac{1}{2} I \omega^2.
Energia inicial:
K_i = \tfrac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 22{,}5 \cdot (1{,}2)^2.
Calcule (1{,}2)^2 = 1{,}44. Então
K_i = 11{,}25 \cdot 1{,}44 = 16{,}2\\ \mathrm{J}.
(Detalhe: \tfrac{1}{2}\cdot 22{,}5 = 11{,}25; 11{,}25\cdot 1{,}44 = 11{,}25 + 4{,}95 = 16{,}2.)
Energia final:
K_f = \tfrac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}5 \cdot (10{,}8)^2.
Calcule (10{,}8)^2 = 116{,}64. Então
K_f = 1{,}25 \cdot 116{,}64 = 145{,}8\\ \mathrm{J}.
(Detalhe: \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}5 = 1{,}25; 1{,}25\cdot 116{,}64 = 116{,}64 + 29{,}16 = 145{,}8.)

Passo 6

Calcular a variação da energia cinética rotacional \Delta K:
\Delta K = K_f - K_i = 145{,}8 - 16{,}2 = 129{,}6\\ \mathrm{J}.
Isso mostra que a energia cinética rotacional do sistema aumentou em 129{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Explicação física de onde vem essa energia (didática e concreta, sem pular etapas):
  • Conservação do momento angular garante que \omega aumente quando o momento de inércia diminui, mas a conservação de L por si só não garante conservação da energia cinética — energia pode mudar se for feito trabalho interno no sistema.
  • Ao puxar os blocos para dentro, o operário aplica forças radiais sobre os blocos. Esse processo envolve deslocamento das massas na presença de forças; por isso o operário realiza trabalho. Em termos energéticos, a energia fornecida pelos músculos do operário (energia química) é transformada em energia cinética rotacional adicional do sistema.
  • Intuitivamente: quando os blocos estão afastados, eles “têm tendência” a permanecer com a mesma velocidade tangencial; ao puxá-los para dentro é preciso exercer força que modifica a componente de velocidade dos blocos, e essa força faz trabalho que aumenta a rapidez angular do conjunto. Em uma referência rotativa vê-se uma força aparente (força centrífuga) que o operário precisa vencer; esse “vencer” corresponde a gasto de energia.
  • Conclusão: a energia extra \Delta K = 129{,}6\\ \mathrm{J} vem do trabalho realizado pelo operário ao puxar os blocos para o eixo (ou seja, da energia química dos músculos transformada em energia cinética rotacional).

Resposta

\omega_f = 10{,}8\\ \mathrm{rad/s}\n
\Delta K = 129{,}6\\ \mathrm{J}\n
A energia vem do trabalho realizado pelo operário (energia química dos músculos) ao puxar os blocos para dentro.

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