Um disco horizontal gira livremente com velocidade angular constante. De repente, uma pequena massa m é colocada cuidadosamente na sua borda.
a) Determine a nova velocidade angular do sistema.
b) A energia cinética foi conservada? Explique.
c) Que analogia pode ser feita com colisões inelásticas?

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa M e raio R que gira livremente com velocidade angular inicial \omega_0. De repente, uma pequena massa m (inicialmente em repouso no referencial inercial) é colocada na borda do disco. O conteúdo envolve conservação do momento angular, cálculo de momento de inércia e comparação de energia cinética antes e depois da “impacto” rotacional.

Passo 2

Como não há torques externos, o momento angular total se conserva. Antes da colisão rotacional o momento angular é
L_i = I_d\,\omega_0,
onde
I_d = \tfrac12 M R^2
é o momento de inércia do disco. Depois de colocarmos a massa, o sistema disc o+massa tem momento de inércia
I_f = I_d + mR^2 = \tfrac12 M R^2 + mR^2.
Aplicando conservação de L:
I_d\,\omega_0 = I_f\,\omega_f \quad\Longrightarrow\quad \omega_f = \frac{I_d}{I_f}\,\omega_0 = \frac{\tfrac12 M R^2}{\tfrac12 M R^2 + mR^2}\,\omega_0 = \frac{M}{M + 2m}\,\omega_0.

Passo 3

Agora comparamos energias cinéticas. Inicialmente
K_i = \tfrac12 I_d\,\omega_0^2 = \tfrac14 M R^2\,\omega_0^2.
Depois, com \omega_f e I_f,
K_f = \tfrac12 I_f\,\omega_f^2 = \tfrac12\bigl(\tfrac12 M R^2 + mR^2\bigr)\Bigl(\frac{I_d}{I_f}\omega_0\Bigr)^{\!2} = \frac{I_d^2}{2I_f}\,\omega_0^2 < \tfrac12 I_d\,\omega_0^2 = K_i.
Como I_d^2/I_f < I_d, conclui-se que K_f < K_i. A diferença de energia foi dissipada por atrito durante o “amarração” da massa no disco.

Passo 4

A situação é análoga a uma colisão completamente inelástica na translação: dois corpos que se “engastam” conservam momento (linear ou angular), mas perdem parte da energia cinética, que vira calor e som.

Resposta

a) \displaystyle \omega_f = \frac{M}{M+2m}\,\omega_0.
b) A energia cinética não se conserva: K_f<K_i, pois parte dela é dissipada por atrito quando a massa é capturada pelo disco.
c) É análogo a uma colisão inelástica completa, em que os corpos “grudam” e perdem energia cinética, mas conservam o momento (linear ou, aqui, angular).

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