a 2. O disco inicia seu movimento com \omega_{0}=1 \mathrm{rad} / s quando \theta=0^{\circ} e é dada uma aceleração angular \alpha=(0,3 \theta) \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, onde \theta está em radianos. Determine as magnitudes das componente normal e da tangencial da aceleração do ponto P , na borda do disco, quando \theta=1 rev.
R: a_{t}=0,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}=5,137 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado inicial: a velocidade angular inicial é \omega_{0}=1\\ \mathrm{rad/s} no instante em que \theta=0^\circ.
  • A aceleração angular depende da posição angular: \alpha=(0,3\,\theta)\\ \mathrm{rad/s^{2}}, sendo \theta em radianos.
  • O ponto P está na borda do disco; o raio do disco, extraído da imagem, é 0{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: determinar as magnitudes das componentes tangencial e normal da aceleração do ponto P quando \theta=1 revolução.
  • Observação numérica importante (conversão): 1 revolução corresponde a 2\pi radianos.

Passo 2

Entender o que é pedido e as fórmulas que usaremos (definições essenciais, sem resolver ainda):
  • Componente tangencial da aceleração linear do ponto na borda: \,a_{t}=\alpha\,R\, onde
    • \alpha é a aceleração angular no instante considerado (unidade \mathrm{rad/s^{2}}),
    • R é o raio do disco (unidade \mathrm{m}).
  • Componente normal (centrípeta) da aceleração linear: \,a_{n}=\omega^{2}\,R\, onde
    • \omega é a velocidade angular no instante considerado (unidade \mathrm{rad/s}).
      Iremos então calcular \alpha em \theta=2\pi e também \omega quando \theta=2\pi.

Passo 3

Relacionar \alpha e \omega quando \alpha é dada em função de \theta.
  • Por definição \alpha=\dfrac{d\omega}{dt}.
  • Usando a regra da cadeia com \omega como função de \theta e \theta função do tempo:
\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\omega}{d\theta}\,\omega.
  • Portanto obtemos a equação diferencial em termos de \theta:
\omega\frac{d\omega}{d\theta}=\alpha(\theta).

Passo 4

Substituir a expressão dada para \alpha(\theta) e separar variáveis para integrar.
  • A aceleração angular dada é \alpha(\theta)=0{,}3\,\theta.
  • Logo
\omega\frac{d\omega}{d\theta}=0{,}3\,\theta.
  • Reescrevendo para integrar:
\omega\,d\omega=0{,}3\,\theta\,d\theta.
Integramos ambos os lados entre as condições iniciais e finais: quando \theta=0 tem-se \omega=\omega_{0}=1; queremos \omega em \theta=2\pi.

Passo 5

Realizar a integração e isolar \omega.
  • Integral do lado esquerdo:
\int_{\omega_{0}}^{\omega}\omega\,d\omega=\frac{1}{2}\bigl(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\bigr).
  • Integral do lado direito:
\int_{0}^{\theta}0{,}3\,\theta\,d\theta=0{,}3\cdot\frac{1}{2}\theta^{2}=0{,}15\,\theta^{2}.
  • Igualando e multiplicando por 2:
\omega^{2}-\omega_{0}^{2}=0{,}3\,\theta^{2}.
  • Portanto a relação fechada é
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+0{,}3\,\theta^{2}.

Passo 6

Calcular numericamente \omega para \theta=1 revolução =2\pi rad.
  • Substituindo \omega_{0}=1 e \theta=2\pi na fórmula:
\omega^{2}=1^{2}+0{,}3\,(2\pi)^{2}=1+0{,}3\cdot 4\pi^{2}=1+1{,}2\,\pi^{2}.
  • Valor numérico aproximado usando \pi^{2}\approx 9{,}8696:
\omega^{2}\approx 1+1{,}2\cdot 9{,}8696=1+11{,}8435=12{,}8435.
  • Assim
\omega\approx\sqrt{12{,}8435}\approx 3{,}584\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular a aceleração angular \alpha no instante \theta=2\pi.
  • Usando \alpha(\theta)=0{,}3\,\theta temos
\alpha(2\pi)=0{,}3\cdot 2\pi=0{,}6\pi\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Valor numérico aproximado:
\alpha(2\pi)\approx 0{,}6\cdot 3{,}1416\approx 1{,}88496\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 8

Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração linear do ponto P (usar R=0{,}4\\ \mathrm{m} obtido da imagem).
  • Tangencial:
a_{t}=\alpha\,R.
Substituindo numericamente:
a_{t}\approx 1{,}88496\cdot 0{,}4\approx 0{,}753984\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando razoavelmente:
a_{t}\approx 0{,}754\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Normal (centrípeta):
a_{n}=\omega^{2}\,R.
Substituindo \omega^{2}\approx 12{,}8435 e R=0{,}4:
a_{n}\approx 12{,}8435\cdot 0{,}4\approx 5{,}1374\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando:
a_{n}\approx 5{,}137\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

Resumo final e pequena checagem de consistência:
  • A aceleração tangencial é pequena (pois \alpha é moderada e o raio é pequeno).
  • A aceleração normal é maior porque cresce com \omega^{2} e \omega aumentou ao longo do movimento.
  • Os valores numéricos obtidos conferem com as respostas indicadas no enunciado.

Resposta

a_{t}=0{,}754\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_{n}=5{,}137\\ \mathrm{m/s^{2}}

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