a 2. O disco inicia seu movimento com
quando
e é dada uma aceleração angular
, onde
está em radianos. Determine as magnitudes das componente normal e da tangencial da aceleração do ponto P , na borda do disco, quando
rev.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado inicial: a velocidade angular inicial é
no instante em que . - A aceleração angular depende da posição angular:
, sendo em radianos. - O ponto
está na borda do disco; o raio do disco, extraído da imagem, é . - Pergunta: determinar as magnitudes das componentes tangencial e normal da aceleração do ponto
quando revolução. - Observação numérica importante (conversão):
revolução corresponde a radianos.
Passo 2
Entender o que é pedido e as fórmulas que usaremos (definições essenciais, sem resolver ainda):
- Componente tangencial da aceleração linear do ponto na borda:
onde -
é a aceleração angular no instante considerado (unidade ), -
é o raio do disco (unidade ).
-
- Componente normal (centrípeta) da aceleração linear:
onde -
é a velocidade angular no instante considerado (unidade ).
Iremos então calcularem e também quando .
-
Passo 3
Relacionar
e
quando
é dada em função de
.
- Por definição
. - Usando a regra da cadeia com
como função de e função do tempo:
- Portanto obtemos a equação diferencial em termos de
:
Passo 4
Substituir a expressão dada para
e separar variáveis para integrar.
- A aceleração angular dada é
. - Logo
- Reescrevendo para integrar:
Integramos ambos os lados entre as condições iniciais e finais: quando
tem-se
; queremos
em
.
Passo 5
Realizar a integração e isolar
.
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
- Igualando e multiplicando por
:
- Portanto a relação fechada é
Passo 6
Calcular numericamente
para
revolução
rad.
- Substituindo
e na fórmula:
- Valor numérico aproximado usando
:
- Assim
Passo 7
Calcular a aceleração angular
no instante
.
- Usando
temos
- Valor numérico aproximado:
Passo 8
Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração linear do ponto
(usar
obtido da imagem).
- Tangencial:
Substituindo numericamente:
Arredondando razoavelmente:
- Normal (centrípeta):
Substituindo
e
:
Arredondando:
Passo 9
Resumo final e pequena checagem de consistência:
- A aceleração tangencial é pequena (pois
é moderada e o raio é pequeno). - A aceleração normal é maior porque cresce com
e aumentou ao longo do movimento. - Os valores numéricos obtidos conferem com as respostas indicadas no enunciado.