Dois discos
e
estão ambas girando livremente a 300 rpm no sentido horário quando são colocadas em contato. Após 6 s de deslizamento, durante os quais cada roda apresenta uma aceleração angular constante, a roda A atinge uma velocidade angular final de 60 rpm no sentido horário. Determine a aceleração angular de cada roda durante o período de deslizamento.
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado e a figura nos dão (peguei os comprimentos da imagem):
- Velocidade angular inicial de ambos os discos:
(sentido horário). - Após
(período de deslizamento, acelerações angulares constantes), o disco tem velocidade angular final (sentido horário). - Dados extraídos da imagem: raio do disco
é e raio do disco é .
O que se pede: determinar a aceleração angular (assumida constante durante o deslizamento) de cada roda, isto ée .
Passo 2
Converter as velocidades de rotações por minuto (rpm) para rad/s. A fórmula que usamos é:
Aplicando:
Também converto os raios para metros (para consistência):
Passo 3
Calcular a aceleração angular de
. A definição de aceleração angular média (aqui constante, logo igual à instantânea) é
Para
:
Numericamente:
Interpretação de sinal: o sinal negativo indica que o disco
está retardando (diminuição da velocidade no sentido horário). Se for pedido o valor da magnitude da aceleração (como na resposta fornecida), então
.
Passo 4
Encontrar
usando a condição de desaparecimento do deslizamento ao fim dos
. Durante o contato, a velocidade tangencial na borda de cada disco é
. O deslizamento termina quando as velocidades tangenciais na região de contato se igualam:
Como as acelerações angulares são constantes,
Substituindo na condição de não deslizamento final:
Rearranjando para
:
Agora usamos
. Como as velocidades iniciais são iguais,
. Vou calcular numericamente:
Substituindo números (usando
e
):
Calculemos passo a passo:
Somando e dividindo por
:
Assim
. O sinal negativo indica também que
está sofrendo uma desaceleração (no sentido horário). A magnitude é
.
Observação importante: a expressão acima é a correta resultante da condição cinemática de igualdade das velocidades tangenciais no fim do deslizamento e do fato de que as duas rodas tinham a mesma velocidade angular inicial. Se, porém, for adotada (como alguns textos simplificam) a hipótese de que as acelerações tangenciais na superfície de contato têm magnitude igual durante o deslizamento (isto é, assumir
diretamente), obtém-se a relação
que numericamente dá
.
Essa última hipótese leva ao resultado numérico indicado na resposta fornecida por você, mas ela não segue da pura conservação cinemática com velocidades iniciais iguais; portanto o valor correto a partir da condição cinemática geral (mostrada acima) é salvo hipóteses adicionais sobre massas/torques ou sobre como a aceleração tangencial é distribuída pelo contato.
Essa última hipótese leva ao resultado numérico indicado na resposta fornecida por você, mas ela não segue da pura conservação cinemática com velocidades iniciais iguais; portanto o valor correto a partir da condição cinemática geral (mostrada acima) é
Passo 5
Resumo final dos valores (apresento os sinais e as magnitudes):
- Aceleração angular de
: (magnitude ). - Aceleração angular de
(pela condição cinemática geral mostrada): (magnitude ).
Se, em vez disso, for usada a simplificação(hipótese adotada por alguns textos), obtém-se a magnitude de igual a , que é o valor que aparece na resposta fornecida no enunciado.