Dois discos A e B estão ambas girando livremente a 300 rpm no sentido horário quando são colocadas em contato. Após 6 s de deslizamento, durante os quais cada roda apresenta uma aceleração angular constante, a roda A atinge uma velocidade angular final de 60 rpm no sentido horário. Determine a aceleração angular de cada roda durante o período de deslizamento.
\mathrm{R}: \alpha_{A}=4,19 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} ; \alpha_{B}=6,98 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado e a figura nos dão (peguei os comprimentos da imagem):
  • Velocidade angular inicial de ambos os discos: \omega_{A,i}=\omega_{B,i}=300\\ \text{rpm} (sentido horário).
  • Após t=6\\ \text{s} (período de deslizamento, acelerações angulares constantes), o disco A tem velocidade angular final \omega_{A,f}=60\\ \text{rpm} (sentido horário).
  • Dados extraídos da imagem: raio do disco A é r_A=125\\ \text{mm} e raio do disco B é r_B=75\\ \text{mm}.
    O que se pede: determinar a aceleração angular (assumida constante durante o deslizamento) de cada roda, isto é \alpha_A e \alpha_B.

Passo 2

Converter as velocidades de rotações por minuto (rpm) para rad/s. A fórmula que usamos é:
\omega\\ (\text{rad/s}) = \frac{\text{rpm}}{60}\cdot 2\pi.
Aplicando:
\omega_{A,i}=\omega_{B,i}=\frac{300}{60}\cdot 2\pi=10\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 31,416\\ \mathrm{rad/s},
\omega_{A,f}=\frac{60}{60}\cdot 2\pi=2\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 6,283\\ \mathrm{rad/s}.
Também converto os raios para metros (para consistência):
r_A=125\\ \text{mm}=0{,}125\\ \mathrm{m},\qquad r_B=75\\ \text{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a aceleração angular de A. A definição de aceleração angular média (aqui constante, logo igual à instantânea) é
\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\omega_f-\omega_i}{t}.
Para A:
\alpha_A=\frac{\omega_{A,f}-\omega_{A,i}}{t} =\frac{2\pi-10\pi}{6}=\frac{-8\pi}{6}=-\frac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}.
Numericamente:
\alpha_A\approx -4{,}18879\\ \mathrm{rad/s^2}.
Interpretação de sinal: o sinal negativo indica que o disco A está retardando (diminuição da velocidade no sentido horário). Se for pedido o valor da magnitude da aceleração (como na resposta fornecida), então |\alpha_A|=4{,}19\\ \mathrm{rad/s^2}.

Passo 4

Encontrar \alpha_B usando a condição de desaparecimento do deslizamento ao fim dos 6\\ \text{s}. Durante o contato, a velocidade tangencial na borda de cada disco é v=\omega r. O deslizamento termina quando as velocidades tangenciais na região de contato se igualam:
\omega_{A,f}\,r_A=\omega_{B,f}\,r_B.
Como as acelerações angulares são constantes,
\omega_{A,f}=\omega_{A,i}+\alpha_A t,\qquad \omega_{B,f}=\omega_{B,i}+\alpha_B t.
Substituindo na condição de não deslizamento final:
(\omega_{A,i}+\alpha_A t)r_A=(\omega_{B,i}+\alpha_B t)r_B.
Rearranjando para \alpha_B:
\alpha_B=\frac{\alpha_A r_A + \dfrac{\omega_{A,i}r_A-\omega_{B,i}r_B}{t}}{r_B}.
Agora usamos \omega_{A,i}=\omega_{B,i}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}. Como as velocidades iniciais são iguais, \omega_{A,i}r_A-\omega_{B,i}r_B=\omega_{i}(r_A-r_B). Vou calcular numericamente:
\omega_{A,i}r_A-\omega_{B,i}r_B =10\pi(0{,}125-0{,}075)=10\pi(0{,}05)=0{,}5\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}5708\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo números (usando \alpha_A=-\dfrac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^2} e t=6\\ \mathrm{s}):
\alpha_B=\frac{\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)\cdot 0{,}125+\dfrac{0{,}5\pi}{6}}{0{,}075}.
Calculemos passo a passo:
\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)\cdot 0{,}125=-\dfrac{4\pi}{3}\cdot 0{,}125=-\dfrac{4\pi}{24}=-\dfrac{\pi}{6}\approx -0{,}523599\\ \mathrm{(rad/s^2)\cdot m},
\dfrac{0{,}5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}\approx 0{,}261799\\ \mathrm{m/s^2}.
Somando e dividindo por r_B:
\alpha_B=\frac{-0{,}523599+0{,}261799}{0{,}075}=\frac{-0{,}261799}{0{,}075}\approx -3{,}49065\\ \mathrm{rad/s^2}.
Assim \alpha_B\approx -3{,}49065\\ \mathrm{rad/s^2}. O sinal negativo indica também que B está sofrendo uma desaceleração (no sentido horário). A magnitude é |\alpha_B|\approx 3{,}49\\ \mathrm{rad/s^2}.
Observação importante: a expressão acima é a correta resultante da condição cinemática de igualdade das velocidades tangenciais no fim do deslizamento e do fato de que as duas rodas tinham a mesma velocidade angular inicial. Se, porém, for adotada (como alguns textos simplificam) a hipótese de que as acelerações tangenciais na superfície de contato têm magnitude igual durante o deslizamento (isto é, assumir \alpha_A r_A = \alpha_B r_B diretamente), obtém-se a relação
|\alpha_B|=|\alpha_A|\frac{r_A}{r_B},
que numericamente dá |\alpha_B|=4{,}18879\cdot\frac{0{,}125}{0{,}075}\approx 6{,}98\\ \mathrm{rad/s^2}.
Essa última hipótese leva ao resultado numérico indicado na resposta fornecida por você, mas ela não segue da pura conservação cinemática com velocidades iniciais iguais; portanto o valor correto a partir da condição cinemática geral (mostrada acima) é |\alpha_B|=3{,}49\\ \mathrm{rad/s^2} salvo hipóteses adicionais sobre massas/torques ou sobre como a aceleração tangencial é distribuída pelo contato.

Passo 5

Resumo final dos valores (apresento os sinais e as magnitudes):
  • Aceleração angular de A: \alpha_A=-\dfrac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx -4{,}18879\\ \mathrm{rad/s^2} (magnitude 4{,}19\\ \mathrm{rad/s^2}).
  • Aceleração angular de B (pela condição cinemática geral mostrada): \alpha_B\approx -3{,}49065\\ \mathrm{rad/s^2} (magnitude 3{,}49\\ \mathrm{rad/s^2}).
    Se, em vez disso, for usada a simplificação \alpha_A r_A=\alpha_B r_B (hipótese adotada por alguns textos), obtém-se a magnitude de B igual a 6{,}98\\ \mathrm{rad/s^2}, que é o valor que aparece na resposta fornecida no enunciado.

Resposta

\alpha_A=-\dfrac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx-4{,}19\\ \mathrm{rad/s^2}
\alpha_B\approx-3{,}49\\ \mathrm{rad/s^2} (magnitude 3{,}49\\ \mathrm{rad/s^2}; se adotar a hipótese \alpha_A r_A=\alpha_B r_B obtém-se a magnitude 6{,}98\\ \mathrm{rad/s^2})

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