Duas correias em V do tipo B85 são utilizadas em uma transmissão composta por uma polia motora de \mathbf{5 , 4} pol girando a \mathbf{1 2 0 0} rpm e por uma polia movida de \mathbf{1 6} pol. Determine a capacidade de potência da transmissão considerando um fator de serviço de 1,25 , e calcule também a distância entre centros das polias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Duas correias em V do tipo B85 (ou seja, seção B e comprimento nominal 85 polegadas).
    • Polia motora (menor): diâmetro D_1 = 5{,}4 pol, girando a n = 1200 rpm.
    • Polia movida (maior): diâmetro D_2 = 16 pol.
    • Número de correias: z = 2.
    • Fator de serviço: SF = 1{,}25.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a capacidade de potência da transmissão considerando o fator de serviço de 1{,}25.
    2. Calcular a distância entre centros das polias.
Observações importantes (apenas listando, não resolvendo ainda):
  • O comprimento nominal da correia é L = 85 pol (peguei essa informação do rótulo B85: letra indica seção, número indica comprimento em polegadas).
  • Para obter a capacidade de potência é comum usar valores de tensão admissível ou tabelas do fabricante para a correia B85. Como não há tabela anexa aqui, vou usar um valor típico de catálogo para correias da seção B e comprimento semelhante (ver explicação quando usado) — após a explicação irei indicar essa hipótese claramente.
  • Para determinar a distância entre centros usarei a fórmula padrão do comprimento de correia para transmissão aberta.

Passo 2

Cálculo da distância entre centros: fórmula e explicação do que cada termo significa.
  • Fórmula padrão para o comprimento efetivo L de uma correia aberta (em mesmas unidades que D e C):
L = 2C + \frac{\pi}{2}\,(D_1 + D_2) + \frac{(D_2 - D_1)^2}{4C}.
onde
  • L = comprimento da correia (aqui em polegadas),
  • C = distância entre centros (polegadas),
  • D_1 e D_2 = diâmetros das polias (polegadas).
Explicação rápida da fórmula (para lembrar na prova): o termo 2C representa os dois trechos retos entre centros; \tfrac{\pi}{2}(D_1+D_2) aproxima a soma dos arcos de contato (meias-voltas) e o último termo corrige o pequeno excesso devido à diferença de diâmetros.
Agora vamos usar os números dados:
  • L = 85 pol,
  • D_1 = 5{,}4 pol,
  • D_2 = 16 pol.
Substituindo na fórmula:
85 = 2C + \frac{\pi}{2}(5{,}4 + 16) + \frac{(16 - 5{,}4)^2}{4C}.
Calculemos passo a passo os termos numéricos:
  • D_1 + D_2 = 5{,}4 + 16 = 21{,}4 pol.
  • \dfrac{\pi}{2}(D_1+D_2) = \dfrac{\pi}{2}\cdot 21{,}4 \approx 1{,}5707963\cdot 21{,}4 \approx 33{,}627 pol.
  • (D_2 - D_1) = 16 - 5{,}4 = 10{,}6 pol.
  • (D_2 - D_1)^2 = 10{,}6^2 = 112{,}36 pol^2.
Assim a equação fica
85 = 2C + 33{,}627 + \frac{112{,}36}{4C}.
Isolando termos conhecidos,
85 - 33{,}627 = 2C + \frac{112{,}36}{4C} \quad\Rightarrow\quad 51{,}373 = 2C + \frac{28{,}09}{C}.
Multiplicando por C para obter uma quadrática:
2C^2 - 51{,}373\,C + 28{,}09 = 0.
Resolver essa equação quadrática em C usando a fórmula de Bhaskara:
C = \frac{51{,}373 \pm \sqrt{51{,}373^2 - 4\cdot2\cdot28{,}09}}{2\cdot2}.
Calculemos o discriminante:
\Delta = 51{,}373^2 - 8\cdot28{,}09 \approx 2639{,}198 - 224{,}72 \approx 2414{,}478.
\sqrt{\Delta} \approx 49{,}136.
Portanto as raízes são
C = \frac{51{,}373 \pm 49{,}136}{4}.
Temos duas soluções; a fisicamente razoável é a maior (a pequena corresponderia a centros irrealisticamente próximos):
C \approx \frac{51{,}373 + 49{,}136}{4} = \frac{100{,}509}{4} \approx 25{,}127\\ \text{pol}.
A outra raiz seria \approx 0{,}559 pol (descartada).
Conclusão desta etapa:
\boxed{C \approx 25{,}13\\ \text{polegadas}}.
Conversões úteis:
25{,}13\\ \text{pol} \times 25{,}4\\ \frac{\text{mm}}{\text{pol}} \approx 638{,}2\\ \text{mm} \approx 0{,}638\\ \text{m}.

Passo 3

Cálculo da velocidade periférica da correia (velocidade linear da correia) — isto é necessário para calcular potência transmitida.
  • Fórmula da velocidade periférica v (em pés por minuto ou em outra unidade): vou calcular em pés por minuto (ft/min) e depois usar a fórmula padrão de potência em HP para ft·lb/min.
  • Usarei:
v = \frac{\pi D_1 n}{12}
onde
  • D_1 em polegadas,
  • n em rpm,
  • divisão por 12 converte polegadas por minuto para pés por minuto.
Substituindo:
v = \frac{\pi\cdot 5{,}4 \cdot 1200}{12} = \pi\cdot 5{,}4 \cdot 100 = \pi\cdot 540 \\ \text{ft/min}.
Numericamente:
v \approx 3{,}141593 \cdot 540 \approx 1696{,}46\\ \text{ft/min}.
Também em m/s:
v \approx 1696{,}46\\ \frac{\text{ft}}{\text{min}}\times 0{,}00508\\ \frac{\text{m/s}}{\text{ft/min}}\approx 8{,}62\\ \text{m/s}.
Explicação didática: na prova, sempre calcule a velocidade da superfície da polia motora (menor ou o que estiver ligado ao motor) porque a correia corre à velocidade dessa superfície; é essa velocidade que multiplica o diferencial de tensões para dar potência.

Passo 4

Formulação da potência transmitida por correias em V (conceito e fórmula que será usada).
  • A potência transmitida por uma correia (HP) pode ser calculada por:
P = \frac{(T_1 - T_2)\,v}{33000},
onde
  • P = potência em horsepower (HP),
  • T_1 = tensão no lado apertado (tight side) em lb (lbf),
  • T_2 = tensão no lado folgado (slack side) em lb (lbf),
  • v = velocidade da correia em ft/min,
  • o fator 33000 converte ft·lbf/min para HP (1 HP = 33 000 ft·lbf/min).
  • Para correias múltiplas, soma-se a contribuição de todas as correias; se as correias são idênticas e compartilham a carga igualmente, multiplicamos a diferença T_1-T_2 por z (número de correias).
  • Relação entre tensões e atrito (Lei de Euler para correias):
\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta},
onde
  • \mu = coeficiente de atrito entre correia e polia (sem dimensões),
  • \theta = ângulo de contato (em radianos) na polia considerada. Para a potência a fórmula é válida usando o ângulo de contato da polia onde a transmissão é mais influente (normalmente usa-se o ângulo de envoltura da polia motora).
  • Para correias em V existe um “efeito de cunha” que aumenta o atrito efetivo; em cálculos aproximados costuma-se usar um valor de \mu típico entre 0{,}2 e 0{,}3 (dependendo de borracha/metais e condição). Vou adotar um valor conservador típico \mu = 0{,}25. Se o enunciado da prova trouxer tabela, use o \mu indicado.

Passo 5

Cálculo do ângulo de contato (envoltura) nas polias — explicação e cálculo.
  • Para transmissão aberta, definimos
\alpha = \arcsin\!\left(\frac{D_2 - D_1}{2C}\right).
Os ângulos de contato (em rad) são:
\theta_1 = \pi - 2\alpha \quad\text{(polia menor / motora)},
\theta_2 = \pi + 2\alpha \quad\text{(polia maior / movida)}.
Usando D_1 = 5{,}4 pol, D_2 = 16 pol e C \approx 25{,}127 pol:
\alpha = \arcsin\!\left(\frac{16 - 5{,}4}{2\cdot 25{,}127}\right) = \arcsin\!\left(\frac{10{,}6}{50{,}254}\right) = \arcsin(0{,}2108) \approx 0{,}2122\\ \text{rad}.
Logo
\theta_1 = \pi - 2(0{,}2122) \approx 3{,}1416 - 0{,}4244 = 2{,}7172\\ \text{rad}.
(Observação didática: para potência usa-se normalmente o ângulo de contato da polia motora porque dela depende a relação de tensões e, portanto, a capacidade efetiva de tração.)

Passo 6

Relacionando tensões e avaliando T_1-T_2 por correia — hipótese prática.
  • Pela lei de Euler:
\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta_1}.
Com \mu = 0{,}25 e \theta_1 \approx 2{,}7172 rad:
\frac{T_1}{T_2} = e^{0{,}25\cdot 2{,}7172} = e^{0{,}6793} \approx 1{,}972.
  • Assim T_2 = T_1 / 1{,}972 e
T_1 - T_2 = T_1\left(1 - \frac{1}{1{,}972}\right) = T_1(1 - 0{,}5069) = 0{,}4931\,T_1.
Ou, de forma equivalente,
T_1 - T_2 \approx 0{,}972\,T_2.
  • Para calcular numericamente a potência precisamos de um valor numérico de T_1 (ou T_2). Esse valor normalmente vem das tabelas do fabricante para a correia B85 — é a máxima tensão de trabalho permitida no lado apertado (ou a tensão recomendada de pré-carga). Como não há tabela anexa no enunciado, adotarei um valor típico de catálogo para correias em V da seção B: uma tensão admissível de projeto no lado apertado por correia aproximadamente
T_{1,\text{por correia}} \approx 150\\ \text{lbf}.
(Nota didática: esse número é uma hipótese razoável usada em problemas práticos; se na prova houver tabela, use o valor dessa tabela. O procedimento de cálculo a seguir é o que se faz com o valor tabulado.)

Passo 7

Cálculo numérico de T_2, da diferença de tensões total para as duas correias e da potência transmitida.
  • Com T_1 = 150 lbf por correia e relação T_1/T_2 \approx 1{,}972:
T_2 = \frac{150}{1{,}972} \approx 76{,}08\\ \text{lbf}.
  • Diferença por correia:
T_1 - T_2 \approx 150 - 76{,}08 = 73{,}92\\ \text{lbf}.
  • Diferença total para z=2 correias (suposição de carga igualmente dividida):
\Delta T_{\text{total}} = z\,(T_1 - T_2) \approx 2 \cdot 73{,}92 = 147{,}84\\ \text{lbf}.
  • Agora a potência (em HP) usando v \approx 1696{,}46\\ \text{ft/min}:
P_{\text{bruta}} = \frac{\Delta T_{\text{total}} \cdot v}{33000} = \frac{147{,}84 \cdot 1696{,}46}{33000}.
Calculemos:
147{,}84 \cdot 1696{,}46 \approx 250{,}804{,}65,
P_{\text{bruta}} \approx \frac{250{,}804{,}65}{33{,}000} \approx 7{,}603\\ \text{HP}.
Explicação prática: esse é o valor de potência que as duas correias conseguem transmitir com as tensões adotadas.

Passo 8

Aplicar o fator de serviço SF = 1{,}25 e interpretar o resultado.
  • O fator de serviço é um coeficiente de segurança que aumenta a potência exigida para cobrir condições reais de trabalho (arranques, choques, manuseio, etc.). Se quisermos garantir que a transmissão opere com segurança sob o fator de serviço, a potência útil segura que podemos admitir é
P_{\text{útil}} = \frac{P_{\text{bruta}}}{SF}.ú
(Explicação didática: outra forma de ver é que, se a máquina precisa de uma potência P_\text{req}, deve-se garantir P_\text{bruta} \ge SF\cdot P_\text{req}. Aqui resolvemos para a potência admissional sob o fator de serviço.)
  • Assim:
P_{\text{útil}} = \frac{7{,}603}{1{,}25} \approx 6{,}0824\\ \text{HP}.ú
  • Convertendo para quilowatts (usar 1\\ \text{HP} \approx 0{,}746\\ \text{kW}):
P_{\text{útil}} \approx 6{,}0824 \times 0{,}746 \approx 4{,}54\\ \text{kW}.ú
Comentário final sobre o fator adotado para T_1:
  • Reforço: usei T_1 = 150 lbf por correia como valor típico retirado de catálogos para correia seção B e comprimento próximo; se a prova trouxer tabela do fabricante para B85 use o valor dessa tabela — o procedimento numérico e as fórmulas são exatamente os mesmos; só muda a constante T_1 e, portanto, o resultado numérico.

Resposta

Capacidade de potência efetiva (considerando SF=1{,}25): 6{,}08\\ \text{HP} \approx 4{,}54\\ \text{kW}.
Distância entre centros: C \approx 25{,}13\\ \text{polegadas} \approx 638{,}2\\ \text{mm} \approx 0{,}638\\ \text{m}.

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