Um oscilador harmônico amortecido do tipo massa-mola apresenta um movimento descrito pela forma compacta:
mostre:
a)
A prove de que equação da posição na forma compacta pode ser escrita na forma expandida:
b)
Os valores numéricos de
e
e a equação final expandida, para
,
.
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que a forma compacta
pode ser escrita na forma expandida
- (b) Para os valores dados
, , , , (aqui corresponde à fase inicial ), calcular numericamente e e escrever a equação expandida final.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Amplitude inicial:
. - Constante elástica:
. - Massa:
. - Damping (exponencial):
. - Fase inicial:
. - A definição usual que será usada:
e (caso subamortecido).
Passo 2
Vamos fazer a identidade trigonométrica básica que serve de base para (a).
Lembrete da identidade trigonométrica: para quaisquer ângulos
e
,
Isto é uma fórmula elementar e muito útil: ela expressa o cosseno de uma soma em termos de cossenos e senos separados.
Aplicando essa identidade com
e
obtemos
Passo 3
Agora multiplico a expressão acima por
(essa é a forma compacta do enunciado) e fatoro o
:
Comparando com a forma que queremos:
vemos que os coeficientes
e
devem satisfazer
Isso conclui a prova do item (a): qualquer expressão
pode ser escrita na forma linear em
e
com
e
dados acima.
Passo 4
Agora partimos para (b): calcular numericamente
,
e montar a equação expandida para os valores dados.
Primeiro calculo a frequência natural
do oscilador massa-mola (sem amortecimento):
Substituindo
e
:
Em seguida calculo a frequência amortecida
(caso subamortecido):
Com
e
:
Antes de prosseguir é bom checar a condição subamortecida: requer
. Aqui
e
, logo
e o caso é subamortecido — a fórmula usada é consistente.
Passo 5
Calculo agora
e
a partir das fórmulas do Passo 3:
com
e
.
Avaliação exata usando valores trigonométricos conhecidos:
Portanto
Se quiser uma aproximação numérica com 4 casas decimais:
Passo 6
Escrevo a equação expandida final substituindo
,
e os
's encontrados:
Ou, em forma aproximada,
Pequeno incentivo: pronto — a transformação é só aplicar a identidade trigonométrica e calcular
e os coeficientes; com calma dá certinho.
Resposta
(a)
portanto
.
(b)