Um disco plano, homogeneamente carregado, de raio R muito grande, consegue sustentar verticalmente uma partícula carregada, de carga elétrica q = 10 μ C e massa 2g. Considere o limite do raio infinito, R → ∞ , quando comparado à distância da partícula ao disco. Se a constante de Coulomb é k = 9 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 e a aceleração da gravidade local, em módulo, é g = 9 , 81 m / s 2 , calcule, aproximadamente, a densidade superficial de cargas, σ , do disco, nesse limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a densidade superficial de carga (σ) de um disco plano com raio muito grande, que consegue sustentar verticalmente uma partícula carregada de carga elétrica $ q = 10 , \mu C $ e massa $ m = 2 , g $. Para resolver isso, vamos precisar entender forças elétricas e gravitacionais, além de como a densidade de carga está relacionada ao campo elétrico produzido por um disco carregado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na partícula. Ela está sendo sustentada pelo disco, o que significa que a força elétrica que o disco exerce para cima está equilibrando a força gravitacional que puxa a partícula para baixo.
Passo 3
A força gravitacional (F₉) que atua na partícula é dada por:
Onde:
- $ m = 2 , g = 0.002 , kg $ (convertendo gramas para quilogramas)
- $ g = 9.81 , m/s² $ (aceleração da gravidade)
Passo 4
A força elétrica (F_e) que o disco exerce na partícula é dada por:
Onde:
- $ q = 10 , \mu C = 10 \times 10^{-6} , C $ (convertendo microcoulombs para coulombs)
- $ E $ é o campo elétrico produzido pelo disco
Passo 5
Como o disco tem raio muito grande ($ R \rightarrow \infty $), podemos considerar que ele se comporta como um plano infinito. O campo elétrico $ E $ de um plano infinito é dado por:
Onde:
- $ \sigma $ é a densidade superficial de carga que queremos encontrar
- $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} , C²/(N \cdot m²) $ é a constante de permissividade do vácuo
Mas, como temos a constante de Coulomb $ k = 9 \times 10^9 , N \cdot m²/C² $ e sabemos que $ k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} $, podemos reescrever $ E $ em termos de $ k $:
Passo 6
Agora, igualamos as forças elétrica e gravitacional para que a partícula fique em equilíbrio:
Substituindo $ E $ da equação anterior:
Passo 7
Vamos isolar $ \sigma $ na equação:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos na equação:
Passo 9
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Passo 10
Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar $ \sigma $:
Resposta
A densidade superficial de carga do disco é aproximadamente $ \sigma = 1,09 \times 10^{-7} , C/m² $.