Um disco plano, homogeneamente carregado, de raio R muito grande, consegue sustentar verticalmente uma partícula carregada, de carga elétrica q = 10 μ C e massa 2g. Considere o limite do raio infinito, R → ∞ , quando comparado à distância da partícula ao disco. Se a constante de Coulomb é k = 9 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 e a aceleração da gravidade local, em módulo, é g = 9 , 81 m / s 2 , calcule, aproximadamente, a densidade superficial de cargas, σ , do disco, nesse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a densidade superficial de carga (σ) de um disco plano com raio muito grande, que consegue sustentar verticalmente uma partícula carregada de carga elétrica $ q = 10 , \mu C $ e massa $ m = 2 , g $. Para resolver isso, vamos precisar entender forças elétricas e gravitacionais, além de como a densidade de carga está relacionada ao campo elétrico produzido por um disco carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na partícula. Ela está sendo sustentada pelo disco, o que significa que a força elétrica que o disco exerce para cima está equilibrando a força gravitacional que puxa a partícula para baixo.

Passo 3

A força gravitacional (F₉) que atua na partícula é dada por:
Fg = m cdot g
Onde:
  • $ m = 2 , g = 0.002 , kg $ (convertendo gramas para quilogramas)
  • $ g = 9.81 , m/s² $ (aceleração da gravidade)

Passo 4

A força elétrica (F_e) que o disco exerce na partícula é dada por:
Fe = q cdot E
Onde:
  • $ q = 10 , \mu C = 10 \times 10^{-6} , C $ (convertendo microcoulombs para coulombs)
  • $ E $ é o campo elétrico produzido pelo disco

Passo 5

Como o disco tem raio muito grande ($ R \rightarrow \infty $), podemos considerar que ele se comporta como um plano infinito. O campo elétrico $ E $ de um plano infinito é dado por:
R infty
Onde:
  • $ \sigma $ é a densidade superficial de carga que queremos encontrar
  • $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} , C²/(N \cdot m²) $ é a constante de permissividade do vácuo
Mas, como temos a constante de Coulomb $ k = 9 \times 10^9 , N \cdot m²/C² $ e sabemos que $ k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} $, podemos reescrever $ E $ em termos de $ k $:
E

Passo 6

Agora, igualamos as forças elétrica e gravitacional para que a partícula fique em equilíbrio:
Fe = Fg q cdot E = m cdot g
Substituindo $ E $ da equação anterior:
E

Passo 7

Vamos isolar $ \sigma $ na equação:
sigma

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos na equação:
sigma = 0.002 , kg cdot 9.81 , m/s²2 cdot 9 times 10^9 , N cdot m²/C² cdot 10 times 10^-6 , C ²²²

Passo 9

Calculando o numerador:
0.002 , kg cdot 9.81 , m/s² = 0.01962 , N ²
Calculando o denominador:
2 cdot 9 times 10^9 , N cdot m²/C² cdot 10 times 10^-6 , C = 2 cdot 9 times 10^9 cdot 10 times 10^-6 = 180 times 10^3 , N/C cdot m ²²

Passo 10

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar $ \sigma $:
sigma ²

Resposta

A densidade superficial de carga do disco é aproximadamente $ \sigma = 1,09 \times 10^{-7} , C/m² $.

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