Um disco de raio a e densidade superficial de carga +\sigma é posicionado no plano x y. Em z=d é colocada uma esfera de carga +Q e raio R<d.
(a) (0.5) Calcule o potencial a uma distância z do centro do disco devido somente ao disco;
(b) (0.5) Determine o campo elétrico do disco a partir do potencial;
(c) (0.5) É observado que uma carga solta exatamente em d / 2 começa a se mover em direção a esfera e ao tocar na borda da esfera, ela para. Determine a relação entre a carga da esfera e a densidade superficial de carga do disco (dica: sua resposta não dependerá da massa ou da carga que será solta em d / 2 ).

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio a com densidade superficial de carga positiva \sigma posicionado no plano xy (centro na origem) e, no ponto z=d sobre o eixo z, uma esfera carregada positivamente com carga total Q e raio R tal que R<d. Perguntas:
(a) Calcular o potencial elétrico, devido somente ao disco, a uma distância \,z, do centro do disco (interpreto isso como ao longo do eixo que passa pelo centro do disco).
(b) Determinar o campo elétrico do disco a partir do potencial do item (a).
(c) Foi observado que uma carga de teste solta exatamente em z=d/2 parte em direção à esfera e, ao tocar a superfície da esfera, ela pára. Determinar a relação entre Q e \sigma. (Observação prática: para que a partícula vá de z=d/2 até tocar a superfície externa da esfera em z=d-R é preciso que d-R>d/2, i.e. R<d/2; usarei esse fato quando necessário.)
Informações relevantes listadas:
\text{disco: raio } a,\quad \text{densidade } \sigma,\quad \text{no plano } z=0.
\text{esfera: centro em } z=d,\quad \text{carga } Q,\quad \text{raio } R<d.
Partícula de teste (pequena carga q, massa m) é solta em z=d/2 e alcança z=d-R com velocidade zero (parte do repouso e para no contato). A relação final pedida não depende de q nem de m.

Passo 2

Derivando o potencial do disco por decomposição em anéis: expliquei a ideia antes de integrar. Imagine dividir o disco em anéis concêntricos de raio r' e espessura dr'. Cada anel tem carga
dq = \sigma \cdot (\text{área do anel}) = \sigma \cdot 2\pi r'\,dr'.á
O potencial (escolhendo V(\infty)=0) produzido por um elemento de carga dq a uma distância \sqrt{z^2 + r'^2} (distância do ponto no eixo até um ponto do anel) é
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{\sqrt{z^2 + r'^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\,2\pi r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}}.
Agora integramos r' de 0 até a para somar o potencial de todos os anéis.

Passo 3

Calcule a integral do passo anterior cuidadosamente (explico cada etapa da integral):
V(z)=\int_{0}^{a}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\,2\pi r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}}.
Fatorando constantes:
V(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_{0}^{a}\frac{r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}}.
Reconhecemos que \displaystyle\int \frac{r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}} = \sqrt{z^2 + r'^2} + C. Aplicando os limites 0 a a:
\int_{0}^{a}\frac{r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}} = \sqrt{z^2 + a^2} - \sqrt{z^2 + 0} = \sqrt{z^2 + a^2} - |z|.
Portanto o potencial do disco, com referência V(\infty)=0, é
\boxed{\,V_{\text{disco}}(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{z^2 + a^2} - |z|\big)\,.}
Breve comentário didático: o termo \sqrt{z^2+a^2} vem da soma das contribuições dos anéis até o raio a; o termo |z| aparece porque o anel integral dá \sqrt{z^2+r'^2} avaliado em r'=0 que é |z|. Para pontos sobre o eixo acima do disco usamos |z|=z.

Passo 4

Agora vamos obter o campo elétrico a partir do potencial: lembre que, em uma dimensão ao longo do eixo z,
\mathbf{E}(z) = -\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}}.
Vou diferenciar o V_{\text{disco}}(z). Primeiro explico a derivada necessária:
\frac{d}{dz}\sqrt{z^2+a^2} = \frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}},\qquad \frac{d}{dz}|z|=\operatorname{sgn}(z).
Para pontos acima do disco (região relevante aqui), z>0 então |z|=z e \operatorname{sgn}(z)=1. Assim, diferenciando:
\frac{dV}{dz} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}} - 1\right).
Aplicando \mathbf{E}=-dV/dz\,\hat{\mathbf{z}} obtemos, para z>0,
\boxed{\,\mathbf{E}_{\text{disco}}(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)\hat{\mathbf{z}}\,.}
Explicação física curta: o campo aponta no sentido +\hat{\mathbf z} (para cima, longe do disco) para z>0, porque cargas positivas no disco empurram cargas de teste para cima; a expressão mostra como o campo decresce com z e tende a \sigma/(2\epsilon_0) próximo do disco quando z\ll a e tende a zero quando z\gg a.

Passo 5

Preparando a equação de conservação de energia para o item (c): seja q a carga de teste (pequena) que é solta em repouso em z_i=d/2 e chega em repouso em z_f=d-R ao tocar a superfície externa da esfera. Como não há perdas, energia potencial elétrica total é conservada, então (cancelando a massa e as forças não elétricas)
q\big[V_{\text{disco}}(z_i)+V_{\text{esfera}}(z_i)\big]=q\big[V_{\text{disco}}(z_f)+V_{\text{esfera}}(z_f)\big].
Podemos cancelar q (daí a resposta não depender de q); assim
V_{\text{disco}}(z_i)+V_{\text{esfera}}(z_i)=V_{\text{disco}}(z_f)+V_{\text{esfera}}(z_f).
Aqui z_i=d/2 e z_f=d-R. Observação sobre \,V_{\text{esfera}}: para pontos fora da esfera ( r\ge R) o potencial da esfera com carga total Q é igual ao de uma carga pontual Q no centro:
V_{\text{esfera}}(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{|d-z|},\qquad \text{para }|d-z|\ge R.
Nos pontos que usamos, z_i=d/2 implica |d-z_i|=d/2 (ponto fora se d/2\ge R, que é a condição R\le d/2); o ponto final z_f=d-R tem |d-z_f|=R e está sobre a superfície (potencial igual a Q/(4\pi\epsilon_0 R)). Reforço a condição física necessária: para ir de z_i=d/2 até z_f=d-R precisamos de d-R>d/2, i.e. R<d/2. Vou assumir essa condição válida porque o enunciado descreve esse acontecimento.

Passo 6

Escrevendo explicitamente a igualdade de potenciais com as fórmulas do disco e da esfera. Use V_{\text{disco}}(z)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{z^2+a^2}-z\big) para z>0 e V_{\text{esfera}}(z)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{|d-z|}. Então
\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\sqrt{(d/2)^2+a^2}-\frac{d}{2}\Big) + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q}{d/2}
= \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R)\Big) + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q}{R}.
Isolo os termos em Q de um lado e os termos com \sigma do outro:
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\Big(\frac{2}{d}-\frac{1}{R}\Big) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R) - \sqrt{(d/2)^2+a^2} + \frac{d}{2}\Big).

Passo 7

Resolver para Q. Multiplicando ambos os lados por 4\pi\epsilon_0 e simplificando constantes:
Q\Big(\frac{2}{d}-\frac{1}{R}\Big) = 4\pi\epsilon_0\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R) - \sqrt{(d/2)^2+a^2} + \frac{d}{2}\Big).
Note que 4\pi\epsilon_0\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=2\pi\sigma. Assim
Q\Big(\frac{2}{d}-\frac{1}{R}\Big) = 2\pi\sigma\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R) - \sqrt{(d/2)^2+a^2} + \frac{d}{2}\Big).
Logo
Q = \frac{2\pi\sigma\;\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R) - \sqrt{(d/2)^2+a^2} + \dfrac{d}{2}\Big)}{\dfrac{2}{d}-\dfrac{1}{R}}.
Podemos escrever de modo equivalente multiplicando numerador e denominador por dR:
Q = 2\pi\sigma\cdot\frac{dR}{2R-d}\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R) - \sqrt{(d/2)^2+a^2} + \frac{d}{2}\Big).
Esta é a relação desejada entre Q e \sigma. Repare que a condição R<d/2 garante que o denominador (2/d-1/R) seja negativo; o sinal do parêntese no numerador também se ajustará para que Q>0 como esperado fisicamente (esse detalhe de sinal não altera a forma da relação).

Resposta

(a) \displaystyle V_{\text{disco}}(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(\sqrt{z^2+a^2}-|z|\big).
(b) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{disco}}(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\Big)\hat{\mathbf z} (para z>0).
(c) \displaystyle Q=\frac{2\pi\sigma\;\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R)-\sqrt{(d/2)^2+a^2}+\dfrac{d}{2}\Big)}{\dfrac{2}{d}-\dfrac{1}{R}}, equivalente a \displaystyle Q=2\pi\sigma\cdot\frac{dR}{2R-d}\Big(\sqrt{(d-R)^2+a^2}-(d-R)-\sqrt{(d/2)^2+a^2}+\frac{d}{2}\Big).

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