Um disco de raio
e densidade superficial de carga
é posicionado no plano
. Em
é colocada uma esfera de carga
e raio
.
(a) (0.5) Calcule o potencial a uma distância
do centro do disco devido somente ao disco;
(b) (0.5) Determine o campo elétrico do disco a partir do potencial;
(c) (0.5) É observado que uma carga solta exatamente em
começa a se mover em direção a esfera e ao tocar na borda da esfera, ela para. Determine a relação entre a carga da esfera e a densidade superficial de carga do disco (dica: sua resposta não dependerá da massa ou da carga que será solta em
).
(a) (0.5) Calcule o potencial a uma distância
(b) (0.5) Determine o campo elétrico do disco a partir do potencial;
(c) (0.5) É observado que uma carga solta exatamente em
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio
com densidade superficial de carga positiva
posicionado no plano
(centro na origem) e, no ponto
sobre o eixo
, uma esfera carregada positivamente com carga total
e raio
tal que
. Perguntas:
(a) Calcular o potencial elétrico, devido somente ao disco, a uma distância , do centro do disco (interpreto isso como ao longo do eixo que passa pelo centro do disco).
(b) Determinar o campo elétrico do disco a partir do potencial do item (a).
(c) Foi observado que uma carga de teste solta exatamente em parte em direção à esfera e, ao tocar a superfície da esfera, ela pára. Determinar a relação entre
e
. (Observação prática: para que a partícula vá de
até tocar a superfície externa da esfera em
é preciso que
, i.e.
; usarei esse fato quando necessário.)
(a) Calcular o potencial elétrico, devido somente ao disco, a uma distância
(b) Determinar o campo elétrico do disco a partir do potencial do item (a).
(c) Foi observado que uma carga de teste solta exatamente em
Informações relevantes listadas:
Partícula de teste (pequena carga
, massa
) é solta em
e alcança
com velocidade zero (parte do repouso e para no contato). A relação final pedida não depende de
nem de
.
Passo 2
Derivando o potencial do disco por decomposição em anéis: expliquei a ideia antes de integrar. Imagine dividir o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura
. Cada anel tem carga
O potencial (escolhendo
) produzido por um elemento de carga
a uma distância
(distância do ponto no eixo até um ponto do anel) é
Agora integramos
de
até
para somar o potencial de todos os anéis.
Passo 3
Calcule a integral do passo anterior cuidadosamente (explico cada etapa da integral):
Fatorando constantes:
Reconhecemos que
. Aplicando os limites
a
:
Portanto o potencial do disco, com referência
, é
Breve comentário didático: o termo
vem da soma das contribuições dos anéis até o raio
; o termo
aparece porque o anel integral dá
avaliado em
que é
. Para pontos sobre o eixo acima do disco usamos
.
Passo 4
Agora vamos obter o campo elétrico a partir do potencial: lembre que, em uma dimensão ao longo do eixo
,
Vou diferenciar o
. Primeiro explico a derivada necessária:
Para pontos acima do disco (região relevante aqui),
então
e
. Assim, diferenciando:
Aplicando
obtemos, para
,
Explicação física curta: o campo aponta no sentido
(para cima, longe do disco) para
, porque cargas positivas no disco empurram cargas de teste para cima; a expressão mostra como o campo decresce com
e tende a
próximo do disco quando
e tende a zero quando
.
Passo 5
Preparando a equação de conservação de energia para o item (c): seja
a carga de teste (pequena) que é solta em repouso em
e chega em repouso em
ao tocar a superfície externa da esfera. Como não há perdas, energia potencial elétrica total é conservada, então (cancelando a massa e as forças não elétricas)
Podemos cancelar
(daí a resposta não depender de
); assim
Aqui
e
. Observação sobre
: para pontos fora da esfera (
) o potencial da esfera com carga total
é igual ao de uma carga pontual
no centro:
Nos pontos que usamos,
implica
(ponto fora se
, que é a condição
); o ponto final
tem
e está sobre a superfície (potencial igual a
). Reforço a condição física necessária: para ir de
até
precisamos de
, i.e.
. Vou assumir essa condição válida porque o enunciado descreve esse acontecimento.
Passo 6
Escrevendo explicitamente a igualdade de potenciais com as fórmulas do disco e da esfera. Use
para
e
. Então
Isolo os termos em
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 7
Resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
e simplificando constantes:
Note que
. Assim
Logo
Podemos escrever de modo equivalente multiplicando numerador e denominador por
:
Esta é a relação desejada entre
e
. Repare que a condição
garante que o denominador
seja negativo; o sinal do parêntese no numerador também se ajustará para que
como esperado fisicamente (esse detalhe de sinal não altera a forma da relação).
Resposta
(a)
.
(b) (para
).
(c) , equivalente a
.
(b)
(c)