*31 Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes finas, têm 3,0 e 6,0 \mathrm{~m} de raio. A carga por unidade de comprimento é 5,0 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m} para a casca interna e -7,0 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m} na casca externa. Determine (a) o módulo E e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r=4,0 \mathrm{~cm}. Determine (c) o módulo E e (d) o sentido do campo elétrico para r=8,0 \mathrm{~cm}.
-•32 Um cilindro maciço, longo, não condutor, com 4,0 \mathrm{~cm} de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não uniforme \rho que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: \rho= A r^{2}. Se A=2,5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{5}, determine o módulo do campo elétrico (a) para r=3,0 \mathrm{~cm}; (b) para r=5,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou separar os dois exercícios para ficar claro).
Exercício 31 — duas cascas cilíndricas coaxiais, de paredes finas:
  • raio da casca interna: 3,0\\ \text{cm} (assumo que a unidade correta é centímetros para ser consistente com os r pedidos);
  • raio da casca externa: 6,0\\ \text{cm};
  • densidade linear de carga na casca interna: \lambda_{1}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m};
  • densidade linear de carga na casca externa: \lambda_{2}=-7{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
    Perguntas:
    (a) módulo de E em r=4{,}0\\ \text{cm};
    (b) sentido (para dentro ou para fora) de E em r=4{,}0\\ \text{cm};
    (c) módulo de E em r=8{,}0\\ \text{cm};
    (d) sentido de E em r=8{,}0\\ \text{cm}.
Exercício 32 — cilindro maciço não condutor, longo:
  • raio do cilindro: R=4{,}0\\ \text{cm};
  • densidade volumétrica de carga: \rho(r)=A r^{2} com A=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{5}=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{5}.
    Perguntas:
    (a) módulo de E para r=3{,}0\\ \text{cm} (interior);
    (b) módulo de E para r=5{,}0\\ \text{cm} (externo).
Observações imediatas: os dois problemas têm simetria cilíndrica (campo radial dependente apenas de r); usaremos a Lei de Gauss para cilindros longos. Vou mostrar cada passo e explicar a teoria por trás das fórmulas que uso.

Passo 2

Teoria útil (explicação da Lei de Gauss aplicada a simetria cilíndrica).
  • A Lei de Gauss em forma integral diz que, para uma superfície fechada,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}).
  • Para um problema com simetria cilíndrica (campo radial, mesmo em todos os pontos a uma dada distância r do eixo), escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Nesse caso a integral se simplifica porque \mathbf{E} é perpendicular à superfície lateral e constante em módulo na lateral:
E(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Daí obtemos a fórmula prática (campo radial) para a densidade linear efetiva \lambda_{\text{int}}=Q_{\text{int}}/L:
E(r)=\frac{\lambda_{\text{int}}}{2\pi\varepsilon_0 r}.
  • Interpretação do sinal: se a carga total efetiva dentro for positiva, o campo aponta para fora (radialmente), se for negativa aponta para dentro.
Vou aplicar essas ideias ao Exercício 31.

Passo 3

Resolvendo Exercício 31 — identificação das regiões e da carga encerrada.
  • As cascas são de parede fina; portanto a carga de cada casca está concentrada em seu raio respectivo.
  • Verificações de posição:
    • para r=4{,}0\\ \text{cm} temos 3{,}0\\ \text{cm}<4{,}0\\ \text{cm}<6{,}0\\ \text{cm}: estamos entre as cascas; a carga encerrada por um cilindro de raio r=4{,}0\\ \text{cm} é apenas a carga da casca interna: \lambda_{\text{int}}=\lambda_{1}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
    • para r=8{,}0\\ \text{cm} temos 8{,}0\\ \text{cm}>6{,}0\\ \text{cm}: estamos fora das duas cascas; a carga encerrada é a soma das duas densidades lineares: \lambda_{\text{int}}=\lambda_{1}+\lambda_{2}=5{,}0\times10^{-6}+(-7{,}0\times10^{-6})=-2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.

Passo 4

Cálculo numérico para r=4{,}0\\ \text{cm} (Exercício 31 — partes (a) e (b)).
  • Fórmula que usamos entre as cascas:
E(r)=\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_0 r}.
  • Substituindo valores: \lambda_{1}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}, r=4{,}0\\ \text{cm}=0{,}04\\ \text{m}, \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • Calcule o denominador passo a passo: 2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\cdot 0{,}04 \approx 2{,}225\times10^{-12}.
  • Agora o módulo do campo: E=\frac{5{,}0\times10^{-6}}{2{,}225\times10^{-12}}\approx 2{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • Sentido: \lambda_{1}>0 então o campo aponta radialmente para fora (campo sai do eixo).

Passo 5

Cálculo numérico para r=8{,}0\\ \text{cm} (Exercício 31 — partes (c) e (d)).
  • Fora das duas cascas usamos
E(r)=\frac{|\lambda_{1}+\lambda_{2}|}{2\pi\varepsilon_0 r},
e o sentido é determinado pelo sinal de \lambda_{1}+\lambda_{2}.
  • Calcule a densidade linear total encerrada: \lambda_{1}+\lambda_{2}=5{,}0\times10^{-6}+(-7{,}0\times10^{-6})=-2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.O sinal negativo indica carga líquida negativa.
  • Para r=8{,}0\\ \text{cm}=0{,}08\\ \text{m}, calcule 2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\cdot 0{,}08 \approx 4{,}450\times10^{-12}.
  • Módulo do campo: E=\frac{2{,}0\times10^{-6}}{4{,}450\times10^{-12}}\approx 4{,}49\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
  • Sentido: como \lambda_{1}+\lambda_{2} é negativo, o campo aponta para dentro (direção para o eixo).
Agora passo para o Exercício 32, que exige integrar a densidade volumétrica não uniforme.

Passo 6

Teoria e escolha da superfície para o Exercício 32.
  • Ainda usamos a Lei de Gauss com superfície cilíndrica coaxial de comprimento L e raio r. O lado do cilindro é onde E é constante e perpendicular.
  • Precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro de raio r. Tomando um elemento de volume em coordenadas cilíndricas: dV = 2\pi r' L\, dr' (anel cilíndrico de espessura dr' e comprimento L).
  • A carga do anel é dQ = \rho(r')\, dV = A r'^{2}\cdot 2\pi r' L\, dr' = 2\pi A L\, r'^{3}\, dr'.
  • Integramos de r'=0 até r'=r para obter Q_{\text{int}}(r).

Passo 7

Cálculo da carga encerrada e expressão geral de E(r) (interior r\le R).
  • Integração: Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} 2\pi A L\, r'^{3}\, dr' = 2\pi A L\left[\frac{r'^{4}}{4}\right]_{0}^{r} = \frac{\pi A L r^{4}}{2}.
  • Densidade linear efetiva (por unidade de comprimento): \lambda_{\text{int}}(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{L}=\frac{\pi A r^{4}}{2}.
  • Aplicando a fórmula de campo: E(r)=\frac{\lambda_{\text{int}}(r)}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{\pi A r^{4}/2}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{A r^{3}}{4\varepsilon_0},\qquad\text{para } r\le R.
  • Note a interpretação: E(r) cresce como r^{3} dentro do cilindro quando \rho\propto r^{2}.

Passo 8

Cálculo do campo para r=3{,}0\\ \text{cm} (Exercício 32 — parte (a), interior).
  • Use r=3{,}0\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m} e A=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{5}}.
  • Fórmula interna: E(r)=\frac{A r^{3}}{4\varepsilon_0}.
  • Calcule r^{3}=(0{,}03)^{3}=2{,}7\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Produto A r^{3}=2{,}5\times10^{-6}\cdot 2{,}7\times10^{-5}=6{,}75\times10^{-11}.
  • Denominador 4\varepsilon_0=4\cdot 8{,}854\times10^{-12}=3{,}5416\times10^{-11}.
  • Então E=\frac{6{,}75\times10^{-11}}{3{,}5416\times10^{-11}}\approx 1{,}91\\ \mathrm{V/m}.
  • Sentido: A>0 implica carga positiva, logo campo radialmente para fora.

Passo 9

Campo para r>R (fórmula externa) e cálculo para r=5{,}0\\ \text{cm} (Exercício 32 — parte (b)).
  • Para r>R a carga encerrada é a carga total do cilindro de raio R: Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R)=\frac{\pi A L R^{4}}{2}.Assim a densidade linear total é \lambda_{\text{tot}}=\pi A R^{4}/2.
  • O campo externo (para r\ge R) é E(r)=\frac{\lambda_{\text{tot}}}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{\pi A R^{4}/2}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{A R^{4}}{4\varepsilon_0 r}.
  • Agora calcule para r=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m} com R=0{,}04\\ \text{m}.
  • R^{4}=(0{,}04)^{4}=2{,}56\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Produto A R^{4}=2{,}5\times10^{-6}\cdot 2{,}56\times10^{-6}=6{,}4\times10^{-12}.
  • Denominador 4\varepsilon_0 r = 4\cdot 8{,}854\times10^{-12}\cdot 0{,}05 \approx 1{,}7708\times10^{-12}.
  • Então E=\frac{6{,}4\times10^{-12}}{1{,}7708\times10^{-12}}\approx 3{,}62\\ \mathrm{V/m}.
  • Sentido: como a carga total é positiva, o campo aponta para fora.

Resposta

31 (a) E(4{,}0\\ \text{cm})=2{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}
31 (b) sentido: para fora
31 (c) E(8{,}0\\ \text{cm})=4{,}49\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}
31 (d) sentido: para dentro
32 (a) E(3{,}0\\ \text{cm})=1{,}91\\ \mathrm{V/m}
32 (b) E(5{,}0\\ \text{cm})=3{,}62\\ \mathrm{V/m}

Exercícios relacionados