*31 Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes finas, têm 3,0 e
de raio. A carga por unidade de comprimento é
para a casca interna e
na casca externa. Determine (a) o módulo
e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial
. Determine (c) o módulo
e (d) o sentido do campo elétrico para
.
-•32 Um cilindro maciço, longo, não condutor, com
de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não uniforme
que é função da distância radial
a partir do eixo do cilindro:
. Se
, determine o módulo do campo elétrico (a) para
; (b) para
.
-•32 Um cilindro maciço, longo, não condutor, com
Passo 1
Enunciados e dados importantes (vou separar os dois exercícios para ficar claro).
Exercício 31 — duas cascas cilíndricas coaxiais, de paredes finas:
- raio da casca interna:
(assumo que a unidade correta é centímetros para ser consistente com os pedidos); - raio da casca externa:
; - densidade linear de carga na casca interna:
; - densidade linear de carga na casca externa:
.
Perguntas:
(a) módulo deem ;
(b) sentido (para dentro ou para fora) deem ;
(c) módulo deem ;
(d) sentido deem .
Exercício 32 — cilindro maciço não condutor, longo:
- raio do cilindro:
; - densidade volumétrica de carga:
com .
Perguntas:
(a) módulo depara (interior);
(b) módulo depara (externo).
Observações imediatas: os dois problemas têm simetria cilíndrica (campo radial dependente apenas de
); usaremos a Lei de Gauss para cilindros longos. Vou mostrar cada passo e explicar a teoria por trás das fórmulas que uso.
Passo 2
Teoria útil (explicação da Lei de Gauss aplicada a simetria cilíndrica).
- A Lei de Gauss em forma integral diz que, para uma superfície fechada,
onde
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo (
).
- Para um problema com simetria cilíndrica (campo radial, mesmo em todos os pontos a uma dada distância
do eixo), escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio e comprimento . Nesse caso a integral se simplifica porque é perpendicular à superfície lateral e constante em módulo na lateral:
- Daí obtemos a fórmula prática (campo radial) para a densidade linear efetiva
:
- Interpretação do sinal: se a carga total efetiva dentro for positiva, o campo aponta para fora (radialmente), se for negativa aponta para dentro.
Vou aplicar essas ideias ao Exercício 31.
Passo 3
Resolvendo Exercício 31 — identificação das regiões e da carga encerrada.
- As cascas são de parede fina; portanto a carga de cada casca está concentrada em seu raio respectivo.
- Verificações de posição:
- para
temos : estamos entre as cascas; a carga encerrada por um cilindro de raio é apenas a carga da casca interna: . - para
temos : estamos fora das duas cascas; a carga encerrada é a soma das duas densidades lineares: .
- para
Passo 4
Cálculo numérico para
(Exercício 31 — partes (a) e (b)).
- Fórmula que usamos entre as cascas:
- Substituindo valores:
, , . - Calcule o denominador passo a passo:
- Agora o módulo do campo:
- Sentido:
então o campo aponta radialmente para fora (campo sai do eixo).
Passo 5
Cálculo numérico para
(Exercício 31 — partes (c) e (d)).
- Fora das duas cascas usamos
e o sentido é determinado pelo sinal de
.
- Calcule a densidade linear total encerrada:
O sinal negativo indica carga líquida negativa. - Para
, calcule - Módulo do campo:
- Sentido: como
é negativo, o campo aponta para dentro (direção para o eixo).
Agora passo para o Exercício 32, que exige integrar a densidade volumétrica não uniforme.
Passo 6
Teoria e escolha da superfície para o Exercício 32.
- Ainda usamos a Lei de Gauss com superfície cilíndrica coaxial de comprimento
e raio . O lado do cilindro é onde é constante e perpendicular. - Precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro de raio
. Tomando um elemento de volume em coordenadas cilíndricas: (anel cilíndrico de espessura e comprimento ). - A carga do anel é
. - Integramos de
até para obter .
Passo 7
Cálculo da carga encerrada e expressão geral de
(interior
).
- Integração:
- Densidade linear efetiva (por unidade de comprimento):
- Aplicando a fórmula de campo:
- Note a interpretação:
cresce como dentro do cilindro quando .
Passo 8
Cálculo do campo para
(Exercício 32 — parte (a), interior).
- Use
e . - Fórmula interna:
- Calcule
. - Produto
. - Denominador
. - Então
- Sentido:
implica carga positiva, logo campo radialmente para fora.
Passo 9
Campo para
(fórmula externa) e cálculo para
(Exercício 32 — parte (b)).
- Para
a carga encerrada é a carga total do cilindro de raio : Assim a densidade linear total é . - O campo externo (para
) é - Agora calcule para
com . -
. - Produto
. - Denominador
. - Então
- Sentido: como a carga total é positiva, o campo aponta para fora.
Resposta
31 (a)
31 (b) sentido: para fora
31 (c)
31 (d) sentido: para dentro
32 (a)
32 (b)
31 (b) sentido: para fora
31 (c)
31 (d) sentido: para dentro
32 (a)
32 (b)