(8 pontos) Uma molécula polar pode ser modelada como um dipolo elétrico formado por duas cargas de mesmo módulo q=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}, separadas por uma distância d=0,15 \mathrm{~nm}. Essa molécula está imersa em um meio líquido de constante dielétrica relativa \varepsilon_{r}=50.
0,15 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}
(a) Calcule o momento de dipolo elétrico dessa molécula em Cm e em Debye.
(b) Determine, partindo da Lei de Coulomb, a intensidade do campo elétrico produzido pelo dipolo sobre um ponto situado no eixo do dipolo, a uma distância r=1,0 \mathrm{~nm} do centro, considerando o meio dielétrico.
(c) Explique qualitativamente o que ocorreria com o campo se o mesmo dipolo estivesse no vácuo, e discuta o papel da constante dielétrica nesse contexto para sistemas moleculares polares.

Passo 1

O enunciado dá uma molécula polar modelada por um dipolo formado por duas cargas de mesmo módulo q=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} separadas por uma distância d=0{,}15\\ \mathrm{nm} (o enunciado também repetiu 0,15\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{m}). A molécula está num meio com constante dielétrica relativa \varepsilon_{r}=50. As perguntas são:
  1. (a) Calcular o momento de dipolo elétrico em \mathrm{C\cdot m} e em Debye.
  2. (b) Partindo da Lei de Coulomb, determinar a intensidade do campo elétrico produzido pelo dipolo num ponto sobre o eixo do dipolo, a uma distância r=1{,}0\\ \mathrm{nm} do centro, considerando o meio dielétrico.
  3. (c) Explicar qualitativamente o que ocorreria com o campo se o dipolo estivesse no vácuo e discutir o papel da constante dielétrica para sistemas moleculares polares.

Passo 2

Definição e cálculo do momento de dipolo. O momento de dipolo elétrico \mathbf{p} para duas cargas \pm q separadas por uma distância d é dado pelo módulo
p = q\,d.
Aqui p tem unidade de \mathrm{C\cdot m} porque q está em Coulomb e d em metros. Substituindo os valores dados:
q = 1{,}6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad d = 0{,}15\\ \mathrm{nm} = 0{,}15\times 10^{-9}\\ \mathrm{m},
portanto
p = (1{,}6\times 10^{-19})\cdot(0{,}15\times 10^{-9}) = 2{,}4\times 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m}.
Explicação didática curta: multiplicamos carga por separação porque o momento mede a “força elétrica multipolar” que essa separação de cargas cria; unidades confiram: \mathrm{C}\times\mathrm{m}=\mathrm{C\cdot m}.

Passo 3

Conversão para Debye e interpretação da unidade Debye. A unidade Debye ( \mathrm{D}) é usada em química e física molecular; 1\\ \mathrm{D}=3{,}33564\times 10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m}. Para converter:
p_{\mathrm{D}}=\frac{p}{3{,}33564\times 10^{-30}}=\frac{2{,}4\times 10^{-29}}{3{,}33564\times 10^{-30}}\approx 7{,}20\\ \mathrm{D}.
Comentário didático: assim vemos que a molécula tem momento de dipolo da ordem de alguns Debye, valor típico de moléculas polares.

Passo 4

Derivação do campo elétrico no eixo do dipolo a partir da Lei de Coulomb (passo conceitual). Considere o eixo que passa pelas cargas e tome um ponto no mesmo eixo, à distância r do centro do dipolo. As distâncias até as cargas são r_+=r-\tfrac{d}{2} e r_-=r+\tfrac{d}{2} (supondo que o ponto está no lado positivo do dipolo). A contribuição de cada carga ao campo (módulo e sinais conforme direção) pela Lei de Coulomb em um meio dielétrico com permissividade \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} é
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{q}{(r-\tfrac{d}{2})^{2}} - \frac{q}{(r+\tfrac{d}{2})^{2}}\right),
onde o sinal resulta da soma vetorial das contribuições de +q e -q. Esta expressão é exata (para pontos no eixo, fora da região entre as cargas).

Passo 5

Aproximação de dipolo (caso d\ll r) e forma simplificada. Em provas costuma-se usar a aproximação dipolar quando d é muito menor que r. Expandindo a diferença para d\ll r (usando desenvolvimento em série ou aproximação por derivada) obtemos
\frac{1}{(r-\tfrac{d}{2})^{2}} - \frac{1}{(r+\tfrac{d}{2})^{2}} \approx \frac{2d}{r^{3}}.
Substituindo na expressão do campo:
E \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon}\cdot q\cdot\frac{2d}{r^{3}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\cdot\frac{2p}{r^{3}}.
Explicação didática: isso mostra o comportamento característico do dipolo no campo distante, com E\propto p/r^{3}. Observe que \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}, e em vácuo \varepsilon_{r}=1.

Passo 6

Cálculo numérico do campo no caso pedido (usar a fórmula aproximada, válida aqui pois d=0{,}15\\ \mathrm{nm}\ll r=1{,}0\\ \mathrm{nm}). Valores:
p = 2{,}4\times 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m},\qquad r = 1{,}0\\ \mathrm{nm}=1{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{m},
\varepsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \varepsilon_{r}=50,\qquad \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}.
Agora calcular passo a passo:
r^{3}=(1{,}0\times 10^{-9})^{3}=1{,}0\times 10^{-27}\\ \mathrm{m^{3}},
2p = 4{,}8\times 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m},
4\pi\varepsilon = 4\pi(\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}) \approx 4\pi\cdot 50\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 5{,}5632\times 10^{-9}\\ \mathrm{F/m}.
Finalmente
E \approx \frac{2p}{4\pi\varepsilon\,r^{3}}=\frac{4{,}8\times 10^{-29}}{5{,}5632\times 10^{-9}\cdot 1{,}0\times 10^{-27}}\approx 8{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Direção: o campo no ponto do eixo está apontado do dipolo do lado negativo para o lado positivo (ou seja, na direção que apontaria o vetor momento \mathbf{p}, do negativo para o positivo).

Passo 7

Resposta qualitativa sobre o vácuo e o papel da constante dielétrica. Se o dipolo estivesse no vácuo ( \varepsilon_{r}=1), o denominador \varepsilon seria 50 vezes menor que no meio dado, logo o campo seria cerca de 50 vezes maior. Numericamente:
E_{\text{vácuo}}\approx 50\cdot E_{\text{meio}}\approx 50\cdot 8{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{V/m}\approx 4{,}3\times 10^{8}\\ \mathrm{V/m}.á
Papel físico de \varepsilon_{r}: a constante dielétrica mede a capacidade do meio em se polarizar diante de um campo elétrico; em meios com \varepsilon_{r} grande há forte polarização molecular que gera campos induzidos que se opõem ao campo original, diminuindo o campo efetivo (efeito de triagem ou “screening”). Para sistemas moleculares polares isto reduz as forças e energias de interação entre dipolos e cargas livres, tornando interações eletrostáticas muito mais fracas no líquido do que no vácuo — por isso soluções polares (como água) estabilizam íons e reduzem atração entre cargas.

Resposta

(a) p=2{,}4\times 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m} \approx 7{,}20\\ \mathrm{D}.\n
(b) E\approx 8{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{V/m}, apontando do lado negativo para o positivo (na direção de \mathbf{p}).\n
(c) No vácuo ( \varepsilon_{r}=1) o campo seria cerca de 50 vezes maior (aprox. 4{,}3\times 10^{8}\\ \mathrm{V/m}). A constante dielétrica reduz o campo efetivo porque o meio se polariza e “triageia” as interações eletrostáticas, diminuindo forças entre dipolos e cargas em líquidos.

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