(8 pontos) Uma molécula polar pode ser modelada como um dipolo elétrico formado por duas cargas de mesmo módulo
, separadas por uma distância
. Essa molécula está imersa em um meio líquido de constante dielétrica relativa
.
(a) Calcule o momento de dipolo elétrico dessa molécula em Cm e em Debye.
(b) Determine, partindo da Lei de Coulomb, a intensidade do campo elétrico produzido pelo dipolo sobre um ponto situado no eixo do dipolo, a uma distância
do centro, considerando o meio dielétrico.
(c) Explique qualitativamente o que ocorreria com o campo se o mesmo dipolo estivesse no vácuo, e discuta o papel da constante dielétrica nesse contexto para sistemas moleculares polares.
(b) Determine, partindo da Lei de Coulomb, a intensidade do campo elétrico produzido pelo dipolo sobre um ponto situado no eixo do dipolo, a uma distância
(c) Explique qualitativamente o que ocorreria com o campo se o mesmo dipolo estivesse no vácuo, e discuta o papel da constante dielétrica nesse contexto para sistemas moleculares polares.
Passo 1
O enunciado dá uma molécula polar modelada por um dipolo formado por duas cargas de mesmo módulo
separadas por uma distância
(o enunciado também repetiu
). A molécula está num meio com constante dielétrica relativa
. As perguntas são:
- (a) Calcular o momento de dipolo elétrico em
e em Debye. - (b) Partindo da Lei de Coulomb, determinar a intensidade do campo elétrico produzido pelo dipolo num ponto sobre o eixo do dipolo, a uma distância
do centro, considerando o meio dielétrico. - (c) Explicar qualitativamente o que ocorreria com o campo se o dipolo estivesse no vácuo e discutir o papel da constante dielétrica para sistemas moleculares polares.
Passo 2
Definição e cálculo do momento de dipolo. O momento de dipolo elétrico
para duas cargas
separadas por uma distância
é dado pelo módulo
Aqui
tem unidade de
porque
está em Coulomb e
em metros. Substituindo os valores dados:
portanto
Explicação didática curta: multiplicamos carga por separação porque o momento mede a “força elétrica multipolar” que essa separação de cargas cria; unidades confiram:
.
Passo 3
Conversão para Debye e interpretação da unidade Debye. A unidade Debye (
) é usada em química e física molecular;
. Para converter:
Comentário didático: assim vemos que a molécula tem momento de dipolo da ordem de alguns Debye, valor típico de moléculas polares.
Passo 4
Derivação do campo elétrico no eixo do dipolo a partir da Lei de Coulomb (passo conceitual). Considere o eixo que passa pelas cargas e tome um ponto no mesmo eixo, à distância
do centro do dipolo. As distâncias até as cargas são
e
(supondo que o ponto está no lado positivo do dipolo). A contribuição de cada carga ao campo (módulo e sinais conforme direção) pela Lei de Coulomb em um meio dielétrico com permissividade
é
onde o sinal resulta da soma vetorial das contribuições de
e
. Esta expressão é exata (para pontos no eixo, fora da região entre as cargas).
Passo 5
Aproximação de dipolo (caso
) e forma simplificada. Em provas costuma-se usar a aproximação dipolar quando
é muito menor que
. Expandindo a diferença para
(usando desenvolvimento em série ou aproximação por derivada) obtemos
Substituindo na expressão do campo:
Explicação didática: isso mostra o comportamento característico do dipolo no campo distante, com
. Observe que
, e em vácuo
.
Passo 6
Cálculo numérico do campo no caso pedido (usar a fórmula aproximada, válida aqui pois
). Valores:
Agora calcular passo a passo:
Finalmente
Direção: o campo no ponto do eixo está apontado do dipolo do lado negativo para o lado positivo (ou seja, na direção que apontaria o vetor momento
, do negativo para o positivo).
Passo 7
Resposta qualitativa sobre o vácuo e o papel da constante dielétrica. Se o dipolo estivesse no vácuo (
), o denominador
seria
vezes menor que no meio dado, logo o campo seria cerca de
vezes maior. Numericamente:
Papel físico de
: a constante dielétrica mede a capacidade do meio em se polarizar diante de um campo elétrico; em meios com
grande há forte polarização molecular que gera campos induzidos que se opõem ao campo original, diminuindo o campo efetivo (efeito de triagem ou “screening”). Para sistemas moleculares polares isto reduz as forças e energias de interação entre dipolos e cargas livres, tornando interações eletrostáticas muito mais fracas no líquido do que no vácuo — por isso soluções polares (como água) estabilizam íons e reduzem atração entre cargas.
Resposta
(a)
.\n
(b) , apontando do lado negativo para o positivo (na direção de
).\n
(c) No vácuo ( ) o campo seria cerca de
vezes maior (aprox.
). A constante dielétrica reduz o campo efetivo porque o meio se polariza e “triageia” as interações eletrostáticas, diminuindo forças entre dipolos e cargas em líquidos.
(b)
(c) No vácuo (