1. Explique o que é momento de inércia
  2. Explique o que é raio de giração
  3. Para uma barra fina com momento de inércia l_{C G}=\frac{m l^{2}}{12}, qual seu raio de giração.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) explicar o que é momento de inércia, (b) explicar o que é raio de giração e (c), sabendo que para uma barra fina de massa m e comprimento l o momento de inércia em torno do seu centro de massa é
I_{CG} = \frac{m\,l^{2}}{12},
calcular o raio de giração dessa barra. O conteúdo envolvido é estática/dinâmica de corpos rígidos e distribuição de massa.

Passo 2

O momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo é uma medida de quanto a massa do corpo está distribuída afastada desse eixo. Em geral, para uma distribuição contínua de massa, definimos
I = \int r^{2}\,dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm até o eixo de rotação. Quanto maior I, mais “difícil” é acelerar o corpo em rotação.

Passo 3

O raio de giração k de um corpo em relação a um dado eixo é o valor tal que, se toda a massa m do corpo estivesse concentrada em uma distância k do eixo, produziria o mesmo momento de inércia I. Matematicamente,
I = m\,k^{2} \quad\Longrightarrow\quad k = \sqrt{\frac{I}{m}}.

Passo 4

No caso da barra fina temos
I_{CG} = \frac{m\,l^{2}}{12}.
Aplicando a definição de raio de giração,
k = \sqrt{\frac{I_{CG}}{m}} = \sqrt{\frac{\frac{m\,l^{2}}{12}}{m}} = \sqrt{\frac{l^{2}}{12}} = \frac{l}{\sqrt{12}}.

Resposta

O raio de giração da barra é
k = \frac{l}{\sqrt{12}}.

Exercícios relacionados