- Uma esfera, de raio
e massa
com uma densidade superficial de carga
uniforme, está girando em torno de um diâmetro com velocidade angular
constante. Calcule o momento magnético dessa esfera girante e mostre que ele está relacionado com o momento angular
por meio da relação
.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de raio
e massa
com carga distribuída uniformemente na superfície, de densidade superficial
, girando com velocidade angular constante
em torno de um diâmetro. Queremos calcular o momento magnético
gerado por essa rotação e mostrar que ele se relaciona com o momento angular
, onde
, pela fórmula
O conteúdo necessário envolve cálculo de corrente superficial, definição de momento magnético de distribuições de corrente e momento de inércia de uma casca esférica.
Passo 2
Primeiro, calculamos a carga total
depositada na superfície. Como a área da superfície da esfera é
e a densidade superficial é
, temos
Passo 3
Cada elemento de carga na superfície se move com velocidade
. A densidade de corrente superficial é então dada por
Aqui
é o vetor posição de um ponto na casca esférica de módulo
.
Passo 4
A definição de momento magnético para uma distribuição de corrente superficial é
Como a rotação é em torno de um eixo (digamos
), a simetria garante que
tenha direção desse eixo.
Passo 5
Para uma casca esférica, basta calcular o módulo. Num sistema de coordenadas esféricas com eixo em
, nota-se que em cada anel de latitude a corrente produz um dipolo local cujo somatório leva a
O elemento de área é
, então
Como
, segue
Passo 6
O momento angular da casca esférica de massa
girando com
em torno de um diâmetro é
logo
Passo 7
Finalmente, escrevemos
em função de
: