• Uma esfera, de raio R e massa M com uma densidade superficial de carga sigma uniforme, está girando em torno de um diâmetro com velocidade angular omega constante. Calcule o momento magnético dessa esfera girante e mostre que ele está relacionado com o momento angular L=I omega=(2 / 3) M R^2 omega por meio da relação mu=(Q / 2 M) L.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R e massa M com carga distribuída uniformemente na superfície, de densidade superficial sigma, girando com velocidade angular constante omega em torno de um diâmetro. Queremos calcular o momento magnético mu gerado por essa rotação e mostrar que ele se relaciona com o momento angular L=I,omega, onde I=(2/3)M R^2, pela fórmula
mu=Q2M,L
O conteúdo necessário envolve cálculo de corrente superficial, definição de momento magnético de distribuições de corrente e momento de inércia de uma casca esférica.

Passo 2

Primeiro, calculamos a carga total Q depositada na superfície. Como a área da superfície da esfera é 4pi R^2 e a densidade superficial é sigma, temos
Q = sigma times 4pi R^2

Passo 3

Cada elemento de carga na superfície se move com velocidade v=omegatimes r. A densidade de corrente superficial é então dada por
K = sigma,v = sigma,(omegatimes r)
Aqui r é o vetor posição de um ponto na casca esférica de módulo R.

Passo 4

A definição de momento magnético para uma distribuição de corrente superficial é
mu = 12integralsuperf rtimes K,dS
Como a rotação é em torno de um eixo (digamos z), a simetria garante que mu tenha direção desse eixo.

Passo 5

Para uma casca esférica, basta calcular o módulo. Num sistema de coordenadas esféricas com eixo em z, nota-se que em cada anel de latitude a corrente produz um dipolo local cujo somatório leva a
mu = 12,sigmaomega integralsuperf rperp^2,dS com rperp=Rsintheta
O elemento de área é dS = R^2sintheta,dtheta,dphi, então
mu = 12,sigmaomega integral0^2pi!!integral0^pi(Rsintheta)^2,R^2sintheta,dtheta,dphi = 12,sigmaomega,2pi R^4integral0^pisin^3theta,dtheta
Como integral0^pisin^3theta,dtheta = tfrac43, segue
mu = 12,sigmaomega,2pi R^4times 43 = 4pi R^2sigma3,R^2omega = Q,R^2,omega3

Passo 6

O momento angular da casca esférica de massa M girando com omega em torno de um diâmetro é
L = I,omega com I = 23M R^2,
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L = 23M R^2,omega

Passo 7

Finalmente, escrevemos mu em função de L:
mu = Q,R^2,omega3 = Q2M,l(23M R^2,omegar) = Q2M,L

Resposta

boxedmu = Q2M,L

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