Um disco de raio R rola em um plano para esquerda sem deslizar com velocidade angular omega. Encontre o vetor velocidade v v , em relação a um observador na superfície, de um ponto que está na periferia do disco e se encontra a 90 graus (sentido anti-horário) e a -90 graus do ponto mais alto do disco. Calcule o módulo desse vetor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um disco de raio $ R $ que está rolando para a esquerda sobre um plano sem deslizar, ou seja, rolando perfeitamente. Ele tem uma velocidade angular $ \omega $. Queremos descobrir a velocidade de um ponto na borda do disco, que está a 90 graus (sentido anti-horário) e a -90 graus em relação ao ponto mais alto do disco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular e a relação entre a velocidade de rotação e a velocidade linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o disco rola sem deslizar, a velocidade de translação do centro do disco $ V $ está relacionada com a velocidade angular $ \omega $ pela fórmula:
V
Isso significa que a velocidade linear do centro do disco é igual ao produto da velocidade angular pelo raio.

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto na periferia do disco que está a 90 graus em sentido anti-horário a partir do ponto mais alto. Esse ponto está na parte esquerda do disco, quando o disco está rolando para a esquerda. A velocidade desse ponto tem duas componentes: a velocidade de translação do centro do disco e a velocidade devido à rotação do disco.

Passo 4

A velocidade total $ \vec{v} $ do ponto na periferia é a soma vetorial da velocidade do centro $ \vec{V} $ e da velocidade relativa devido à rotação $ \vec{v}_{rel} $:
v
Como o ponto está na parte esquerda, a velocidade relativa $ \vec{v}_{rel} $ aponta para baixo.

Passo 5

A velocidade relativa devido à rotação é dada por:
vrel = omega R
E essa velocidade está na direção perpendicular ao raio, ou seja, para baixo no nosso caso.

Passo 6

Como o disco está se movendo para a esquerda com velocidade $ V = \omega R $ e a velocidade relativa do ponto está descendo com $ \omega R $, podemos representar as velocidades vetoriais:
  • Velocidade do centro $ \vec{V} $: para a esquerda, $ \vec{V} = -V \hat{i} $
  • Velocidade relativa $ \vec{v}{rel} $: para baixo, $ \vec{v}{rel} = -\omega R \hat{j} $

Passo 7

Somando as duas componentes vetoriais:
v = -V i - omega R j
Como $ V = \omega R $, substituindo temos:
V = omega R

Passo 8

Agora, para encontrar o módulo dessa velocidade, usamos o teorema de Pitágoras:
|v| = raiz(-omega R)^2 + (-omega R)^2 = raiz2 (omega R)^2 = omega R raiz2

Passo 9

Da mesma forma, para o ponto a -90 graus (na parte direita do disco), a velocidade relativa devido à rotação aponta para cima, então:
v = -omega R i + omega R j
E o módulo será o mesmo:
|v| = omega R raiz2

Resposta

O módulo do vetor velocidade dos pontos na periferia do disco é $ |\vec{v}| = \omega R \sqrt{2} $.

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