Para um disco de raio
, uniformemente carregado, a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por
. Determinar a que distância ao longo do eixo do disco a intensidade do campo elétrico é igual a metade do valor do campo sobre a superfície do disco, no seu centro. (Obs: Na superfície do disco,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Eletrostática, especificamente com o campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente. Precisamos encontrar a distância ao longo do eixo do disco onde a intensidade do campo elétrico é metade do valor que ele tem no centro do disco. Para isso, vamos usar a fórmula que nos dá a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é dado no problema e o que precisamos encontrar. A fórmula do campo elétrico ao longo do eixo do disco é:
Onde:
- $ E_z $ é a intensidade do campo elétrico no eixo.
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $).
- $ \sigma $ é a densidade de carga superficial do disco.
- $ z $ é a distância ao longo do eixo a partir do centro do disco.
- $ R $ é o raio do disco.
Queremos encontrar $ z $ tal que $ E_z $ seja metade do valor de $ E_z $ no centro do disco (quando $ z = 0 $).
Passo 3
Vamos calcular primeiro o valor do campo elétrico no centro do disco, ou seja, quando $ z = 0 $:
Então, o campo elétrico no centro é $ 2 k \pi \sigma $.
Passo 4
Queremos encontrar a distância $ z $ onde o campo elétrico $ E_z $ é metade desse valor:
Agora, substituímos $ E_z $ na fórmula original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Primeiro, cancelamos $ k \pi \sigma $ dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Isolando a fração que contém $ z $:
Então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ z $. Primeiramente, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por $ z^2 + R^2 $:
Multiplicando os termos:
Passo 9
Subtraindo $ \frac{1}{4} z^2 $ de ambos os lados:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{4}{3} $:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A distância ao longo do eixo do disco onde a intensidade do campo elétrico é metade do valor no centro é $ z = \dfrac{R}{\sqrt{3}} $.