Para um disco de raio R, uniformemente carregado, a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por Ez=2 k pi sigma[1-z /(z 2+R 2) 1 / 2]. Determinar a que distância ao longo do eixo do disco a intensidade do campo elétrico é igual a metade do valor do campo sobre a superfície do disco, no seu centro. (Obs: Na superfície do disco, z=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Eletrostática, especificamente com o campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente. Precisamos encontrar a distância ao longo do eixo do disco onde a intensidade do campo elétrico é metade do valor que ele tem no centro do disco. Para isso, vamos usar a fórmula que nos dá a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é dado no problema e o que precisamos encontrar. A fórmula do campo elétrico ao longo do eixo do disco é:
Ez = 2 k pi sigma [1 - zraizz^2 + R^2 ]
Onde:
  • $ E_z $ é a intensidade do campo elétrico no eixo.
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $).
  • $ \sigma $ é a densidade de carga superficial do disco.
  • $ z $ é a distância ao longo do eixo a partir do centro do disco.
  • $ R $ é o raio do disco.
Queremos encontrar $ z $ tal que $ E_z $ seja metade do valor de $ E_z $ no centro do disco (quando $ z = 0 $).

Passo 3

Vamos calcular primeiro o valor do campo elétrico no centro do disco, ou seja, quando $ z = 0 $:
z = 0
Então, o campo elétrico no centro é $ 2 k \pi \sigma $.

Passo 4

Queremos encontrar a distância $ z $ onde o campo elétrico $ E_z $ é metade desse valor:
z
Agora, substituímos $ E_z $ na fórmula original:
Ez

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Primeiro, cancelamos $ k \pi \sigma $ dos dois lados:
k pi sigma
Dividindo ambos os lados por 2:
1 = 2 [1 - zraizz^2 + R^2 ]

Passo 6

Isolando a fração que contém $ z $:
z
Então:
zraizz^2 + R^2 = 1 - 12 = 12

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ z $. Primeiramente, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
z
(zraizz^2 + R^2)^2 = (12)^2

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por $ z^2 + R^2 $:
z^2 + R^2
Multiplicando os termos:
z^2 = 14(z^2 + R^2)

Passo 9

Subtraindo $ \frac{1}{4} z^2 $ de ambos os lados:
14 z^2
z^2 - 14 z^2 = 14 R^2

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por $ \frac{4}{3} $:
43
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
z^2 = 13 R^2

Resposta

A distância ao longo do eixo do disco onde a intensidade do campo elétrico é metade do valor no centro é $ z = \dfrac{R}{\sqrt{3}} $.

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