Numa descoberta recente de dois planetas que estão em órbita em torno de uma mesma estrela, distante do Sistema Solar, constatou-se que os períodos orbitais destes são T 1 e T 2, respectivamente.
Determine as razões dos raios orbitais destes dois planetas, considerando que neste sistema planetário as leis de Kepler também possam ser aplicadas.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos dois planetas girando em torno da mesma estrela, com períodos orbitais T^2 propto r^3 e . A pergunta é: qual a razão entre os raios das órbitas deles, ou seja, ?
Conteúdo envolvido: a Terceira Lei de Kepler, que relaciona período orbital e raio da órbita . Vamos usar que, para um dado sistema (mesma estrela), vale
O que precisamos: escrever essa proporção, dividir as equações para os dois planetas e extrair a razão .

Passo 2

Escrevendo a Terceira Lei de Kepler para cada planeta:
T1^2 = k,r1^3 e T2^2 = k,r2^3,
onde é a mesma constante para os dois (porque orbitam a mesma estrela). Aqui estamos usando a teoria que diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio.

Passo 3

Vamos dividir a primeira equação pela segunda pra eliminar T1^2T2^2 = k,r1^3k,r2^3 = r1^3r2^3 :
Isso é válido porque some dos dois lados e fica só a razão dos cubos dos raios.

Passo 4

Agora queremos T1^2T2^2 = (r1r2)^!3 . Temos
r1r2 = raiz[3]T1^2T2^2 = gl(T1T2gr)^!2/3
Para isolar , tiramos a raiz cúbica em ambos os lados:

Resposta

boxedr1r2 = gl(T1T2gr)^!2/3

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