Numa descoberta recente de dois planetas que estão em órbita em torno de uma mesma estrela, distante do Sistema Solar, constatou-se que os períodos orbitais destes são
e
, respectivamente.
Determine as razões dos raios orbitais destes dois planetas, considerando que neste sistema planetário as leis de Kepler também possam ser aplicadas.
Determine as razões dos raios orbitais destes dois planetas, considerando que neste sistema planetário as leis de Kepler também possam ser aplicadas.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos dois planetas girando em torno da mesma estrela, com períodos orbitais
e
. A pergunta é: qual a razão entre os raios das órbitas deles, ou seja,
?
Conteúdo envolvido: a Terceira Lei de Kepler, que relaciona período orbital e raio da órbita
. Vamos usar que, para um dado sistema (mesma estrela), vale
Conteúdo envolvido: a Terceira Lei de Kepler, que relaciona período orbital
O que precisamos: escrever essa proporção, dividir as equações para os dois planetas e extrair a razão
.
Passo 2
Escrevendo a Terceira Lei de Kepler para cada planeta:
onde
é a mesma constante para os dois (porque orbitam a mesma estrela). Aqui estamos usando a teoria que diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio.
Passo 3
Vamos dividir a primeira equação pela segunda pra eliminar
:
Isso é válido porque
some dos dois lados e fica só a razão dos cubos dos raios.
Passo 4
Agora queremos
. Temos
Para isolar
, tiramos a raiz cúbica em ambos os lados: