Um disco rígido homogêneo, de massa M e raio R, está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito. No instante \mathrm{t}= 0, passa a atuar sobre o disco um torque externo constante \mathbf{1}, aplicado em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa, fazendo-o girar sem transladar. Considere que o torque é mantido constante no tempo, o disco não sofre forças dissipativas e o eixo de rotação permanece fixo no espaço. Assinale a alternativa CORRETA.
a) Aenergia cinética rotacional do disco cresce linearmente com o tempo.
b) O módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo, enquanto a energia cinética rotacional cresce quadraticamente.
c) O módulo do momento angular e a energia cinética rotacional crescem ambos linearmente com o tempo.
d) A aceleração angular do disco cresce com o tempo devido ao aumento do momento angular.
e) A energia cinética rotacional permanece constante, pois não há forças dissipativas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas usadas depois):
  • Disco rígido homogêneo com massa M e raio R.
  • Inicialmente em repouso: \omega(0)=0.
  • O disco está apoiado numa mesa sem atrito e não translada (o centro fica fixo).
  • A partir de t=0 atua um torque externo constante que chamarei de \tau, aplicado em torno do eixo vertical que passa pelo centro do disco. O enunciado diz que o torque é mantido constante no tempo.
  • Não há forças dissipativas e o eixo de rotação permanece fixo no espaço.
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d), (e) é a CORRETA sobre o comportamento do momento angular, da energia cinética rotacional e da aceleração angular ao longo do tempo.

Passo 2

Momento de inércia do disco (recapitulando a teoria básico que precisamos): para um disco homogêneo de massa M e raio R girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro, o momento de inércia é
I=\frac{1}{2}MR^{2}.
O momento de inércia I mede a “inércia rotacional”: quanto maior I, mais difícil é acelerar angularmente o corpo. Aqui I é constante porque o disco é rígido e sua geometria e massa não mudam.

Passo 3

Relação torque — momento angular (a lei fundamental da dinâmica rotacional): o torque líquido \boldsymbol{\tau} aplicado sobre um corpo é igual à taxa de variação do momento angular \mathbf{L},
\boldsymbol{\tau}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}.
No nosso caso o torque é constante em direção e módulo (aplicado sobre o eixo do disco), e o movimento é puramente de rotação em torno desse eixo. Tomando módulos e usando que o momento angular está alinhado com o eixo, temos
\tau=\frac{dL}{dt}.
Integrando a partir de t=0 e sabendo que L(0)=I\omega(0)=0, obtém-se
L(t)=\tau t.
Portanto o módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo. (Isso já elimina alternativas que disserem que L é constante ou cresce de outro modo.)

Passo 4

Relação torque — aceleração angular (outra forma útil da segunda lei rotacional): para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo com momento de inércia I,
\tau=I\alpha,
onde \alpha é a aceleração angular. Como \tau e I são constantes, deduzimos que \alpha é constante:
\alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{2\tau}{MR^{2}}\quad(\text{constante}).
Integrando \alpha=d\omega/dt com \omega(0)=0 vem
\omega(t)=\alpha t.
Assim a velocidade angular cresce linearmente com t, e a aceleração angular não cresce com o tempo (ela é constante). Isso mostra que a alternativa (d) está errada.

Passo 5

Energia cinética rotacional e sua dependência do tempo (a parte que costuma confundir): a energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega é
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Substituindo \omega(t)=\alpha t obtida no passo anterior,
K_{\text{rot}}(t)=\tfrac{1}{2}I(\alpha t)^{2}=\tfrac{1}{2}I\alpha^{2}t^{2}.
Como \alpha e I são constantes, isso mostra que a energia cresce como t^{2}: cresce quadraticamente com o tempo. Se preferir ver em termos do torque, usando \alpha=\tau/I,
K_{\text{rot}}(t)=\frac{\tau^{2}}{2I}\,t^{2},
o que também deixa explícito o crescimento quadrático. Portanto alternativas que afirmam crescimento linear de K_{\text{rot}} ou que ela permanece constante estão incorretas.

Passo 6

Resumo e eliminação das alternativas erradas (curto e direto):
  • (a) “A energia cinética rotacional do disco cresce linearmente com o tempo.” — falso; vimos que cresce como t^{2}.
  • (b) “O módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo, enquanto a energia cinética rotacional cresce quadraticamente.” — isso coincide exatamente com L(t)=\tau t e K_{\text{rot}}(t)=\dfrac{\tau^{2}}{2I}t^{2}. Correto.
  • (c) “O módulo do momento angular e a energia cinética rotacional crescem ambos linearmente com o tempo.” — falso (energia cresce quadrática).
  • (d) “A aceleração angular do disco cresce com o tempo devido ao aumento do momento angular.” — falso; a aceleração angular é \alpha=\tau/I, constante. O aumento de L é consequência da aceleração aplicada, não causa aumento de \alpha.
  • (e) “A energia cinética rotacional permanece constante, pois não há forças dissipativas.” — falso; ausência de dissipação impede perda de energia, mas o torque externo realiza trabalho e aumenta a energia rotacional.

Resposta

b)

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