Um disco rígido homogêneo, de massa M e raio R, está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito. No instante
0, passa a atuar sobre o disco um torque externo constante
, aplicado em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa, fazendo-o girar sem transladar. Considere que o torque é mantido constante no tempo, o disco não sofre forças dissipativas e o eixo de rotação permanece fixo no espaço. Assinale a alternativa CORRETA.
a) Aenergia cinética rotacional do disco cresce linearmente com o tempo.
b) O módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo, enquanto a energia cinética rotacional cresce quadraticamente.
c) O módulo do momento angular e a energia cinética rotacional crescem ambos linearmente com o tempo.
d) A aceleração angular do disco cresce com o tempo devido ao aumento do momento angular.
e) A energia cinética rotacional permanece constante, pois não há forças dissipativas.
a) Aenergia cinética rotacional do disco cresce linearmente com o tempo.
b) O módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo, enquanto a energia cinética rotacional cresce quadraticamente.
c) O módulo do momento angular e a energia cinética rotacional crescem ambos linearmente com o tempo.
d) A aceleração angular do disco cresce com o tempo devido ao aumento do momento angular.
e) A energia cinética rotacional permanece constante, pois não há forças dissipativas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas usadas depois):
- Disco rígido homogêneo com massa
e raio . - Inicialmente em repouso:
. - O disco está apoiado numa mesa sem atrito e não translada (o centro fica fixo).
- A partir de
atua um torque externo constante que chamarei de , aplicado em torno do eixo vertical que passa pelo centro do disco. O enunciado diz que o torque é mantido constante no tempo. - Não há forças dissipativas e o eixo de rotação permanece fixo no espaço.
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d), (e) é a CORRETA sobre o comportamento do momento angular, da energia cinética rotacional e da aceleração angular ao longo do tempo.
Passo 2
Momento de inércia do disco (recapitulando a teoria básico que precisamos): para um disco homogêneo de massa
e raio
girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro, o momento de inércia é
O momento de inércia
mede a “inércia rotacional”: quanto maior
, mais difícil é acelerar angularmente o corpo. Aqui
é constante porque o disco é rígido e sua geometria e massa não mudam.
Passo 3
Relação torque — momento angular (a lei fundamental da dinâmica rotacional): o torque líquido
aplicado sobre um corpo é igual à taxa de variação do momento angular
,
No nosso caso o torque é constante em direção e módulo (aplicado sobre o eixo do disco), e o movimento é puramente de rotação em torno desse eixo. Tomando módulos e usando que o momento angular está alinhado com o eixo, temos
Integrando a partir de
e sabendo que
, obtém-se
Portanto o módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo. (Isso já elimina alternativas que disserem que
é constante ou cresce de outro modo.)
Passo 4
Relação torque — aceleração angular (outra forma útil da segunda lei rotacional): para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo com momento de inércia
,
onde
é a aceleração angular. Como
e
são constantes, deduzimos que
é constante:
Integrando
com
vem
Assim a velocidade angular cresce linearmente com
, e a aceleração angular não cresce com o tempo (ela é constante). Isso mostra que a alternativa (d) está errada.
Passo 5
Energia cinética rotacional e sua dependência do tempo (a parte que costuma confundir): a energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira com velocidade angular
é
Substituindo
obtida no passo anterior,
Como
e
são constantes, isso mostra que a energia cresce como
: cresce quadraticamente com o tempo. Se preferir ver em termos do torque, usando
,
o que também deixa explícito o crescimento quadrático. Portanto alternativas que afirmam crescimento linear de
ou que ela permanece constante estão incorretas.
Passo 6
Resumo e eliminação das alternativas erradas (curto e direto):
- (a) “A energia cinética rotacional do disco cresce linearmente com o tempo.” — falso; vimos que cresce como
. - (b) “O módulo do momento angular cresce linearmente com o tempo, enquanto a energia cinética rotacional cresce quadraticamente.” — isso coincide exatamente com
e . Correto. - (c) “O módulo do momento angular e a energia cinética rotacional crescem ambos linearmente com o tempo.” — falso (energia cresce quadrática).
- (d) “A aceleração angular do disco cresce com o tempo devido ao aumento do momento angular.” — falso; a aceleração angular é
, constante. O aumento de é consequência da aceleração aplicada, não causa aumento de . - (e) “A energia cinética rotacional permanece constante, pois não há forças dissipativas.” — falso; ausência de dissipação impede perda de energia, mas o torque externo realiza trabalho e aumenta a energia rotacional.
Resposta
b)