1. Um próton se move com velocidade \vec{v}=(2 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+ \hat{k}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, em uma região onde existe um campo magnético \vec{B}=(\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}) T. Calcule a força experimentada por este próton durante seu movimento nesta região. Resposta: \vec{F}=q(2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+8 \hat{k}) \mathrm{N}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Velocidade do próton: \vec{v}=(2\hat{\imath}-4\hat{\jmath}+\hat{k})\\ \mathrm{m/s}.
  • Campo magnético: \vec{B}=(\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k})\\ \mathrm{T}.
    A pergunta é: calcular a força magnética experimentada por este próton durante seu movimento nesta região.

Passo 2

A relação física que usamos aqui é a força magnética (força de Lorentz, parte magnética) sobre uma carga em movimento:
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Explicando as letras:
  • q é a carga elétrica da partícula (para um próton q=+e, com e sendo a carga elementar).
  • \vec{v} é o vetor velocidade.
  • \vec{B} é o vetor campo magnético.
    O símbolo \times indica o produto vetorial (cross product). O produto vetorial entre dois vetores tridimensionais resulta em outro vetor perpendicular aos dois, com componentes que podemos calcular pela regra dos determinantes ou pela fórmula componente a componente.

Passo 3

Vamos escrever as componentes para aplicar a fórmula componente a componente. Se
\vec{v}=(v_x,v_y,v_z) \quad\text{e}\quad \vec{B}=(B_x,B_y,B_z),
então o produto vetorial tem componentes
(\vec{v}\times\vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y,
(\vec{v}\times\vec{B})_y = v_z B_x - v_x B_z,
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Pegando os componentes do problema:
v_x=2,\quad v_y=-4,\quad v_z=1,
B_x=1,\quad B_y=2,\quad B_z=-1.

Passo 4

Calcular a componente x:
(\vec{v}\times\vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = (-4)\cdot(-1) - (1)\cdot 2 = 4 - 2 = 2.

Passo 5

Calcular a componente y:
(\vec{v}\times\vec{B})_y = v_z B_x - v_x B_z = (1)\cdot 1 - (2)\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.

Passo 6

Calcular a componente z:
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x = (2)\cdot 2 - (-4)\cdot 1 = 4 + 4 = 8.

Passo 7

Portanto o produto vetorial é
\vec{v}\times\vec{B}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+8\hat{k}.
Multiplicando pela carga q do próton obtemos a força:
\vec{F}=q\,(2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+8\hat{k})\\ \mathrm{N}.
Se quiser a forma numérica usando q=e\approx1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, os componentes ficam aproximadamente
F_x\approx 2e \approx 3,204\times10^{-19}\\ \mathrm{N},
F_y\approx 3e \approx 4,806\times10^{-19}\\ \mathrm{N},
F_z\approx 8e \approx 1,2816\times10^{-18}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\vec{F}=q(2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+8 \hat{k})\\ \mathrm{N}

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