Um disco uniforme de raio
e massa
(ou seja, com momento de inércia
) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade
. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura
atingida pelo disco.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco que está rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal e depois sobe um plano inclinado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior altura $ h $ que esse disco consegue alcançar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica rotacional. Vamos precisar entender um pouquinho sobre energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam quando objetos estão rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a energia que o disco tem quando está rolando na superfície horizontal. O disco tem energia cinética de translação devido ao movimento do seu centro de massa e energia cinética de rotação porque está girando.
A energia cinética total ($ K_{total} $) é a soma dessas duas energias:
Onde:
- $ m $ é a massa do disco,
- $ v $ é a velocidade do centro de massa,
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que o disco está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear ($ v
\omega $) estão relacionadas pela equação:
Aqui, $ R $ é o raio do disco. Isso nos permite substituir $ \omega $ em termos de $ v $:
Passo 4
Além disso, o enunciado nos dá o momento de inércia do disco:
Agora, vamos substituir $ I $ e $ \omega $ na equação da energia cinética total:
Simplificando:
Passo 5
Quando o disco sobe o plano inclinado, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional ($ U $) no ponto mais alto da subida:
Aqui, $ g $ é a aceleração devido à gravidade e $ h $ é a altura que queremos determinar.
Passo 6
Para encontrar a altura máxima $ h $, igualamos a energia cinética total à energia potencial:
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, basta resolver para $ h $:
Resposta
A maior altura atingida pelo disco é $ h = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{v^{2}}{g} $.