Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremi- dade livre da mola ao longo do eixo x com módulo dado por
. Aqui,
e
.
a) Qual o trabalho necessário para esticar essa mola por
a partir de seu comprimento sem deformação?
a) Qual o trabalho necessário para esticar essa mola por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola que não segue exatamente a Lei de Hooke. Uma extremidade está fixa e a outra está sendo esticada. A força que a gente precisa aplicar para esticar a mola por uma distância $ x $ é dada por:
Aqui, $ k = 100 , N/m $, $ b = 700 , N/m^{2} $ e $ c = 12000 , N/m^{3} $. Queremos descobrir o trabalho necessário para esticar essa mola por $ 0,050 , m $ a partir do comprimento sem deformação. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força variável, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ($ W
F_x
x $). Ou seja:
Nesse caso, $ x = 0,050 , m $.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão da força $ F_x $ na integral:
Isso significa que vamos integrar cada termo da força separadamente dentro dos limites de 0 a 0,050 metros.
Passo 4
Vamos calcular a integral termo a termo:
- Para $ k x $:
2. Para $ -b x^{2} $:
- Para $ c x^{3} $:
Então, o trabalho total fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ x = 0,050 , m $ na expressão integrada:
E também considerar que quando $ x = 0 $, todas as partes da expressão são zero, então não precisamos subtrair nada.
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente:
- $ \frac{1}{2} \times 100 \times (0,050)^{2} = 50 \times 0,0025 = 0,125 , J $
- $ -\frac{700}{3} \times (0,050)^{3} = -\frac{700}{3} \times 0,000125 \approx -0,0292 , J $
- $ \frac{12000}{4} \times (0,050)^{4} = 3000 \times 0,00000625 = 0,01875 , J $
Agora, somamos esses valores:
Resposta
O trabalho necessário para esticar a mola por $ 0,050 , m $ é aproximadamente $ 0,115 , J $.