Discuss how the functions
and
can be found so that each differential equation is exact. Carry out your ideas.
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial da forma
e queremos escolher
de modo que ela seja exata. Lembrando que “exata” significa que existe uma função potencial
tal que
e o critério de exatidão é
No nosso caso
já está dado:
Precisamos então encontrar
satisfazendo
Passo 2
Calculemos primeiro
Note que
Logo
Passo 3
Impondo
, integramos em relação a
:
onde
é função “constante” de integração (depende só de
).
Calculemos cada termo:
Calculemos cada termo:
-
. -
-
-
Somando, obtemos
Passo 4
Concluímos que, para qualquer função arbitrária
, a escolha
faz com que
, ou seja, torna a equação exata.
Resposta
com
função arbitrária de
, e