Discuss how the functions M(x, y) and N(x, y) can be found so that each differential equation is exact. Carry out your ideas.
M(x, y) d x+(x e^x y+2 x y+1x) d y=0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e queremos escolher M(x,y) de modo que ela seja exata. Lembrando que “exata” significa que existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M, partial Psipartial y=N,
e o critério de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x
No nosso caso N(x,y) já está dado:
N(x,y)=x e^xy+2xy+1x
Precisamos então encontrar M(x,y) satisfazendo
partial Mpartial y =partialpartial xl(x e^xy+2xy+tfrac1xr)

Passo 2

Calculemos primeiro
partial Npartial x =partialpartial xl(x e^xyr) +partialpartial x(2xy) +partialpartial xl(tfrac1xr)
Note que
partialpartial x(x e^xy) =e^xy+x,(y e^xy), partialpartial x(2xy)=2y, partialpartial xl(tfrac1xr)=-tfrac1x^2
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partial Npartial x =e^xy+x y,e^xy+2y-1x^2

Passo 3

Impondo partial M/partial y=partial N/partial x, integramos em relação a y:
M(x,y) =integrall[e^xy+x y,e^xy+2y-tfrac1x^2r],dy + phi(x),
onde phi(x) é função “constante” de integração (depende só de x).
Calculemos cada termo:
  1. integral e^xy,dy=1x,e^xy.
  2. integral x y,e^xy,dy =xl[ye^xyx-integrale^xyx,dyr] =y e^xy-1x,e^xy
  3. integral2y,dy=y^2
  4. integral!-tfrac1x^2,dy=- yx^2
Somando, obtemos
M(x,y) =1x e^xy+l(y e^xy-tfrac1x e^xyr)+y^2- yx^2+phi(x) =y,e^xy+y^2- yx^2+phi(x)

Passo 4

Concluímos que, para qualquer função arbitrária phi(x), a escolha
boxedM(x,y)=y,e^xy+y^2- yx^2+phi(x)
faz com que
partial M/partial y=partial N/partial x, ou seja, torna a equação exata.

Resposta

M(x,y)=y,e^xy+y^2- yx^2+phi(x),
com phi função arbitrária de x, e
N(x,y)=x e^xy+2xy+1x

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