Discuss how the functions
and
can be found so that each differential equation is exact. Carry out your ideas.
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
com
e pede que encontremos
de modo que a equação seja exata.
Conteúdo: equação diferencial exata. Vamos usar a condição de exatidão
Conteúdo: equação diferencial exata. Vamos usar a condição de exatidão
Passo 2
Calcular
.
Temos
Temos
Derivando termo a termo em relação a
:
Logo
Passo 3
Para exatidão, queremos
Integramos em
:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 4
Separando integrais:
-
-
Para
, use , :
Portanto
Somando e incluindo
,
Resposta
Uma escolha simples (tomando
) é
que garante
e torna a equação exata.