Discuss how the functions M(x, y) and N(x, y) can be found so that each differential equation is exact. Carry out your ideas.
(x^-1 / 2 y^1 / 2+xx^2+y) d x+N(x, y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=x^-1/2y^1/2+xx^2+y
e pede que encontremos N(x,y) de modo que a equação seja exata.
Conteúdo: equação diferencial exata. Vamos usar a condição de exatidão
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Calcular partial Mpartial y.
Temos
M(x,y)=x^-1/2y^1/2+xx^2+y
Derivando termo a termo em relação a y:
partialpartial yl(x^-1/2y^1/2r) =x^-1/2,12,y^-1/2 =12,x^-1/2y^-1/2,
partialpartial yl(xx^2+yr) =-,x(x^2+y)^2
Logo
partial Mpartial y =12,x^-1/2y^-1/2 -x(x^2+y)^2

Passo 3

Para exatidão, queremos
partial Npartial x =12,x^-1/2y^-1/2 -x(x^2+y)^2
Integramos em x:
N(x,y) =integrall(tfrac12,x^-1/2y^-1/2 -x(x^2+y)^2r),dx +H(y),
onde H(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Separando integrais:
  1. integral tfrac12,x^-1/2y^-1/2,dx =tfrac12,y^-1/2integral x^-1/2dx =tfrac12,y^-1/2cdot2,x^1/2 =x^1/2y^-1/2
  2. Para integral x(x^2+y)^2,dx, use u=x^2+y, du=2x,dx:
integralx(x^2+y)^2,dx =12integral u^-2du =-12u =-12(x^2+y)
Portanto
-integralx(x^2+y)^2,dx =+12(x^2+y)
Somando e incluindo H(y),
N(x,y) =x^1/2y^-1/2 +12(x^2+y) +H(y)

Resposta

Uma escolha simples (tomando H(y)=0) é
boxed N(x,y) =x^1/2y^-1/2 +12,l(x^2+yr)
que garante partialxN=partialyM e torna a equação exata.

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