Discuta afirmação a seguir. Como as probabilidades são medidas da incerteza, a probabilidade que associamos a um evento futuro crescerá à medida que recebemos mais informação a respeito.
Passo 1
O enunciado apresenta a afirmação: “Como as probabilidades são medidas da incerteza, a probabilidade que associamos a um evento futuro crescerá à medida que recebemos mais informação a respeito.”
O que é pedido: discutir essa afirmação — isto é, avaliar se ela é verdadeira sempre, quando é verdadeira, quando é falsa e explicar por quê.
Informações relevantes dadas (implícitas na afirmação):
O que é pedido: discutir essa afirmação — isto é, avaliar se ela é verdadeira sempre, quando é verdadeira, quando é falsa e explicar por quê.
Informações relevantes dadas (implícitas na afirmação):
- Probabilidades são tratadas como medidas de incerteza (interpretação epistemic/Bayesiana).
- A afirmação sugere uma relação monotônica: mais informação ⇒ probabilidade atribuída a um evento futuro aumenta.
Passo 2
Entender claramente o que significa “atualizar uma probabilidade quando chega informação” (noções básicas, passo a passo).
-
Representação das crenças: imagine um evento
(por exemplo: “vai chover amanhã”). A nossa crença inicial sobre é a probabilidade a priori . Essa é uma medida numérica entre e que representa o grau de crença antes de ver informações novas. -
Informação e probabilidade condicional: quando recebemos uma evidência
(por exemplo: “o radar mostrou nuvens”), passamos a usar a probabilidade condicional . Por definição,
desde que
. Isso é apenas a forma precisa de dizer “a probabilidade de
dado que
ocorreu”.
- Regra de Bayes (ferramenta prática para atualizar): ao ver evidência
, obtemos
Aqui:
-
é o prior (crença antes); -
é a probabilidade de observar a evidência se for verdadeira; -
é a probabilidade total da evidência, que pode ser calculada por
Explicação didática: Bayes mostra como combinar a força da evidência (
versus
) com a crença inicial
para obter a crença posterior
.
Passo 3
Exemplos numéricos — mostrar que a probabilidade pode aumentar ou diminuir com informação.
Exemplo em que a probabilidade aumenta:
- Prior:
. - Suponha evidência
com e .
Calcule:
Aqui a probabilidade subiu de
para
.
Exemplo em que a probabilidade diminui:
- Mesma prior
. - Outra evidência
com e .
Calcule:
Aqui a probabilidade caiu de
para
.
Conclusão prática desses exemplos: informação relevante pode tanto aumentar quanto diminuir a probabilidade de um evento.
Passo 4
Resultado geral e formalidade (por que não existe uma regra “sempre aumenta”) — propriedades matemáticas das atualizações.
-
Modelando informação acumulada: suponha que observamos evidências sequenciais
. Denote por a informação disponível até o tempo . A probabilidade que atribuímos a com essa informação é . -
Propriedade do “martingale” (intuição e fórmula):
Defina a variável aleatória. Esta é a esperança condicional do indicador do evento :
Pela propriedade torre das esperanças condicionais (ou pela definição de esperança condicional), tem-se, para
e
,
Isto diz que a sequência
é um martingale em relação à filtração
.
- Significado prático do martingale:
- Em palavras simples: a sua expectativa condicional da nova crença, dado o que já sabia, é exatamente a crença atual. Ou seja, não há ganho médio esperado que aumente sistematicamente a probabilidade inicial para cima — a ação de atualizar com evidência, em média (ou seja, antes de ver a evidência), não altera o valor esperado da probabilidade.
- Consequência: não existe uma lei que diga “mais informação sempre torna
maior”. A atualização pode ir para cima ou para baixo; só sabemos que, antes de olhar a evidência, o valor esperado da nova probabilidade é o valor antigo.
Passo 5
Reconciliação com a intuição “mais informação reduz incerteza” — entropia e concentração das crenças.
- Medida de incerteza: entropia de Shannon. Para uma variável binária com probabilidade
de sucesso, a entropia é
-
Informação tipicamente reduz incerteza: em média, condicionar reduz entropia. Formalmente,
. Intuição: à medida que recebemos evidências, nossas crenças tendem a se mover para valores mais extremos (próximos de ou ), o que diminui a entropia média. -
Como casar isso com o martingale? Mesmo que a esperança de
permaneça a mesma ( para todo ), a distribuição de pode ficar mais espalhada para os extremos. Exemplo clássico: antes da evidência ; após, com probabilidade passa a e com probabilidade passa a . A média continua , mas a incerteza (entropia média) diminuiu porque as probabilidades ficaram mais certas (próximas de ou ).
Passo 6
Resposta direta e conclusão didática (o que gravar para a prova — passo a passo aplicável):
- A afirmação original, dita de forma absoluta (“a probabilidade que associamos a um evento futuro crescerá à medida que recebemos mais informação”), é falsa. Não há garantia de crescimento monotônico: evidência pode aumentar ou diminuir a probabilidade de um evento.
- O que é correto: mais informação leva a uma atualização da probabilidade para a probabilidade condicional apropriada
, calculada por Bayes quando apropriado. Em média (antes de observar a nova informação) o valor esperado da probabilidade posterior é igual à probabilidade atual:
- Outra verdade importante: tipicamente a informação reduz a incerteza média (entropia média) — as probabilidades tendem a se concentrar mais em
ou , embora a direção (aumentar ou diminuir ) dependa dos dados observados. - Regra prática para provas: nunca assuma que um dado pedaço de informação necessariamente eleva a probabilidade; calcule usando
e interprete vs . Lembre-se também da propriedade do martingale se a questão pedir justificativa teórica sobre média ou comportamento de atualizações.
Resposta
A afirmação é falsa em geral: informação pode tanto aumentar quanto diminuir a probabilidade de um evento. O correto é que a probabilidade é atualizada para a probabilidade condicional
(via Bayes); em média, antes de ver a informação, a expectativa da probabilidade posterior permanece igual à probabilidade atual, enquanto a informação tende a reduzir a incerteza média (entropia), concentrando as crenças para valores mais próximos de
ou
.