Se P(A)=\frac{1}{3} e P(\bar{C})=\frac{1}{4}, então podemos garantir que os eventos A e C são mutuamente exclusivos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A)=\dfrac{1}{3}.
  • P(\overline{C})=\dfrac{1}{4}.
O que é pedido: podemos garantir que os eventos A e C são mutuamente exclusivos?
Lembrete do que significa mutuamente exclusivos: dois eventos A e C são mutuamente exclusivos se, e somente se, P(A\cap C)=0.

Passo 2

Usar a relação entre um evento e seu complementar. Por definição de complementar:
P\text{(C)}+P(\overline{C})=1.
Portanto podemos calcular P\text{(C)} a partir de P(\overline{C}):
P\text{(C)}=1-P(\overline{C})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.

Passo 3

Trazer a fórmula da união de dois eventos e explicar seus termos. Para quaisquer eventos A e C,
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C).
Aqui:
  • P(A\cup C) é a probabilidade de que ocorra A ou C (ou ambos);
  • P(A\cap C) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e C.

Passo 4

Usar que uma probabilidade não pode exceder 1, logo P(A\cup C)\le 1. Aplicando isso à fórmula da união:
P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C)\le 1.
Isolando P(A\cap C) obtemos a desigualdade útil
P(A\cap C)\ge P(A)+P\text{(C)}-1.
Isto significa que a soma P(A)+P\text{(C)} impõe um limite inferior para P(A\cap C).

Passo 5

Substituir os valores que temos:
P(A)+P\text{(C)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{13}{12}.
Logo, pela desigualdade anterior,
P(A\cap C)\ge \dfrac{13}{12}-1=\dfrac{1}{12}.
Portanto P(A\cap C) é pelo menos \dfrac{1}{12}, ou seja, estritamente positivo.

Passo 6

Conclusão lógica: como P(A\cap C)\ge \dfrac{1}{12}>0, não é possível ter P(A\cap C)=0. Logo os eventos A e C não são mutuamente exclusivos — podemos garantir que eles se sobrepõem com probabilidade pelo menos \dfrac{1}{12}. Força aí, essa é uma conclusão direta e segura!

Resposta

Não.

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