Discuta ângulos construtíveis algébrica e geometricamente.(soma, diferença, dobro, metade)
Passo 1
O que o enunciado pede: discutir ângulos construtíveis algébrica e geometricamente, tratando especificamente as operações soma, diferença, dobro e metade. Ou seja:
- Mostrar o que significa “ângulo construtível” (quais informações temos).
- Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a soma de dois ângulos construtíveis é construtível.
- Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a diferença de dois ângulos construtíveis é construtível.
- Explicar, de forma algébrica e geométrica, se o dobro de um ângulo construtível é construtível.
- Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a metade de um ângulo construtível é construtível.
- Dar exemplos e mostrar limitações (por exemplo, trisseção nem sempre é possível).
Informações que podemos usar: definições padrão de construções com régua e compasso, fórmulas trigonométricas clássicas (soma de ângulos, dobro, metade, fórmula do cosseno do triplo ângulo) e o fato algebraico de que números construtíveis são obtidos por operações algébricas básicas e extração finita de raízes quadradas.
Passo 2
Definição geométrica e algébrica de “ângulo construtível” (explicação bem mastigada).
- Geometricamente: um ângulo
é dito construtível se, a partir de um segmento de referência (ou de dois pontos dados) e usando apenas régua não graduada e compasso, conseguimos construir dois raios com vértice comum que formam esse ângulo . Em prática de prova: é o que dá para traçar com as ferramentas clássicas. - Algébrica (essencial para raciocínio): um número real
é construtível se pode ser obtido a partir dos números racionais por uma sequência finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raiz quadrada. O conjunto desses números forma um corpo (field) que é obtido por extensões quadráticas sucessivas de .
Conexão ângulo ↔ número: um ânguloé construtível se e somente se (ou equivalentemente ) é um número construtível no sentido algébrico acima. Motivo rápido: as construções com régua e compasso resolvem intersecções de retas e círculos, o que leva a equações de grau até , portanto a cada passo só se introduzem raízes quadradas.
Passo 3
Por que, se
é construtível então
é construtível (intuição e argumento).
- Intuição geométrica: colocar um arco de raio 1 com centro na origem e traçar o ponto correspondente ao ângulo
dá coordenadas . Construções com régua e compasso resultam em coordenadas que surgem como solução de equações quadráticas, então as coordenadas são obtidas por operações racionais e extrações de raízes quadradas. - Forma curta: construções com régua e compasso correspondem a resolver sucessivas equações quadráticas; portanto as coordenadas dos pontos construíveis estão em extensões de
por raízes quadradas. Logo é construtível em sentido algébrico.
Passo 4
Se
é construtível então
também é construtível (motivo e fórmula).
- Fórmula usada:
. - Explicação: se
é construível então é construível (fechado para soma e produto). A operação de raiz quadrada é permitida nas extensões construtíveis, então é construível. O sinal corresponde ao ramo (acima ou abaixo do eixo), mas geometricamente escolhemos o sinal adequado.
Passo 5
Soma e diferença de ângulos — argumento algébrico (passo a passo).
- Fórmulas trigonométricas que vamos usar (tudo em TeX):
- Suponha que
e são construtíveis, então e são números construtíveis (Passo 2 e 3). Pelos raciocínios do Passo 4, e também são construtíveis (extração de raiz quadrada a partir de ). - Agora observe que as fórmulas acima expressam
apenas em termos de soma, produto e subtração de números que já sabemos construtíveis. Essas operações mantêm a construtibilidade. Portanto é construtível, e assim é construtível (pois ângulo construtível ↔ cosseno construtível). - Conclusão algébrica: soma e diferença de ângulos construtíveis são construtíveis.
Passo 6
Soma e diferença de ângulos — construção geométrica (como fazer na prova com régua e compasso).
- Construção da soma
: - No papel, construa um vértice
e dois raios formando o primeiro ângulo . No primeiro raio escolha um ponto . - Copie o segundo ângulo
com vértice em (procedimento padrão: traçar arco em , marcar intersecções, etc.). O novo raio a partir de ao ser ligado a gera o segundo segmento que, visto do vértice , tem direção formando . - Em resumo: “colar” um ângulo depois do outro soma-os — é uma construção direta, feita por cópia de ângulo.
- No papel, construa um vértice
- Construção da diferença
: copiar o ângulo na direção oposta e proceder de forma análoga (ou copiar e subtrair geometricamente colocando-o na outra direção).
Essas construções são operações primárias com régua e compasso e são muito simples: copiar ângulo e transladar (sem escala) é permitido.
Passo 7
Dobro de um ângulo — argumento algébrico e geométrico.
- Álgebra: use a identidade
Se
é construtível, então
é construtível e a combinação
é construível. Assim
é construtível →
é construtível.
- Geometria: para dobrar um ângulo basta copiar o mesmo ângulo adjacente a ele (igual ao passo de soma com
). Geometricamente, construir duas vezes seguido produz .
Passo 8
Metade de um ângulo — argumento algébróico e construção geométrica (bissetriz).
- Álgebra: usar a fórmula de metade (em termos do cosseno):
Se
é construtível então
é construtível; tomar raiz quadrada preserva construibilidade. Portanto
é construtível →
é construtível.
- Geometria (construção da bissetriz): procedimento clássico com régua e compasso:
- Dado o vértice
e os dois raios que formam , trace um arco de centro que corte os dois lados em e . - Com compasso, faça arcos de mesmo raio centrados em
e que se intersectem em . - Traçar a reta
. Essa reta é a bissetriz do ângulo (divide em duas partes iguais).
Esse procedimento é padrão em qualquer prova de construção e é executável sempre (não há restrição).
- Dado o vértice
Passo 9
Limitações — por que nem toda operação que pareça “simples” é possível: exemplo da trisseção de ângulo.
- Afirmação: não é possível, em geral, trisecar arbitrariamente um ângulo com régua e compasso. Mostro um exemplo clássico e curto: trísecar
. - Demonstração algébrica que
(o terço de ) não é construtível: - Use a fórmula do cosseno do triplo ângulo:
. - Se
então e . Logo satisfaz
Multiplicando por obtemos a forma polinomial - Esse polinômio é irreducível sobre
(teste rápido: racional root test mostra que não são raízes; portanto não tem raiz racional e não se fatoriza linearmente; mas o mais direto é saber que seu grau mínimo é ). Assim o número tem grau algébrico sobre . - Critério de construibilidade: um número algébrico é construtível apenas se o grau do seu corpo gerador sobre
for potência de . Aqui o grau é , que não é potência de , logo não é construtível e não é construtível.
- Use a fórmula do cosseno do triplo ângulo:
- Conclusão: embora soma, diferença, dobro e metade sejam operações permitidas (fecham o conjunto de ângulos construtíveis), outras operações como “trisseção arbitrária” podem falhar. O exemplo
→ mostra uma impossibilidade clássica.
Passo 10
Observações práticas e dicas para prova (como usar isso na hora H).
- Regra prática: para decidir se um ângulo
é construtível pergunte: o número é obtido por operações racionais e extrações finitas de raízes quadradas? Em termos algébricos, isso significa que o grau do corpo sobre deve ser potência de . - Operações que sempre funcionam (podemos aplicar sem medo): soma, diferença, dobro, metade — todas mantêm a construibilidade (explicações algébricas nos passos anteriores).
- Operações que nem sempre funcionam: divisão em
partes iguais para arbitrário. Em particular, trisseção geral falha (ex.: não é construtível). - Exemplos fáceis para fixar:
-
é construtível (grau ). -
é construtível (envolve uma raiz quadrada). -
é construtível (envolve raiz quadrada). -
não é construtível (veja Passo 9).
-
- Como recordar rápido: construções com régua e compasso introduzem apenas extensões quadráticas; portanto todo aviso sobre polinômios mínimos e grau em
é decisivo.
Resposta
Soma de ângulos construtíveis: construtível (sempre).
Diferença de ângulos construtíveis: construtível (sempre).
Dobro de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Metade (bissetriz) de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Observação importante: trisseção arbitrária de ângulos não é sempre possível; exemplo concreto: (terço de
) não é construtível, pois
é raiz do polinômio
de grau
, não potência de
.
Diferença de ângulos construtíveis: construtível (sempre).
Dobro de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Metade (bissetriz) de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Observação importante: trisseção arbitrária de ângulos não é sempre possível; exemplo concreto: