Discuta ângulos construtíveis algébrica e geometricamente.(soma, diferença, dobro, metade)

Passo 1

O que o enunciado pede: discutir ângulos construtíveis algébrica e geometricamente, tratando especificamente as operações soma, diferença, dobro e metade. Ou seja:
  • Mostrar o que significa “ângulo construtível” (quais informações temos).
  • Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a soma de dois ângulos construtíveis é construtível.
  • Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a diferença de dois ângulos construtíveis é construtível.
  • Explicar, de forma algébrica e geométrica, se o dobro de um ângulo construtível é construtível.
  • Explicar, de forma algébrica e geométrica, se a metade de um ângulo construtível é construtível.
  • Dar exemplos e mostrar limitações (por exemplo, trisseção nem sempre é possível).
    Informações que podemos usar: definições padrão de construções com régua e compasso, fórmulas trigonométricas clássicas (soma de ângulos, dobro, metade, fórmula do cosseno do triplo ângulo) e o fato algebraico de que números construtíveis são obtidos por operações algébricas básicas e extração finita de raízes quadradas.

Passo 2

Definição geométrica e algébrica de “ângulo construtível” (explicação bem mastigada).
  • Geometricamente: um ângulo \theta é dito construtível se, a partir de um segmento de referência (ou de dois pontos dados) e usando apenas régua não graduada e compasso, conseguimos construir dois raios com vértice comum que formam esse ângulo \theta. Em prática de prova: é o que dá para traçar com as ferramentas clássicas.
  • Algébrica (essencial para raciocínio): um número real x é construtível se pode ser obtido a partir dos números racionais por uma sequência finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raiz quadrada. O conjunto desses números forma um corpo (field) que é obtido por extensões quadráticas sucessivas de \mathbb{Q}.
    Conexão ângulo ↔ número: um ângulo \theta é construtível se e somente se \cos\theta (ou equivalentemente \sin\theta) é um número construtível no sentido algébrico acima. Motivo rápido: as construções com régua e compasso resolvem intersecções de retas e círculos, o que leva a equações de grau até 2, portanto a cada passo só se introduzem raízes quadradas.

Passo 3

Por que, se \theta é construtível então \cos\theta é construtível (intuição e argumento).
  • Intuição geométrica: colocar um arco de raio 1 com centro na origem e traçar o ponto correspondente ao ângulo \theta dá coordenadas (\cos\theta,\sin\theta). Construções com régua e compasso resultam em coordenadas que surgem como solução de equações quadráticas, então as coordenadas são obtidas por operações racionais e extrações de raízes quadradas.
  • Forma curta: construções com régua e compasso correspondem a resolver sucessivas equações quadráticas; portanto as coordenadas dos pontos construíveis estão em extensões de \mathbb{Q} por raízes quadradas. Logo \cos\theta é construtível em sentido algébrico.

Passo 4

Se \cos\theta é construtível então \sin\theta também é construtível (motivo e fórmula).
  • Fórmula usada: \sin\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta}.
  • Explicação: se \cos\theta é construível então 1-\cos^2\theta é construível (fechado para soma e produto). A operação de raiz quadrada é permitida nas extensões construtíveis, então \sqrt{1-\cos^2\theta} é construível. O sinal \pm corresponde ao ramo (acima ou abaixo do eixo), mas geometricamente escolhemos o sinal adequado.

Passo 5

Soma e diferença de ângulos — argumento algébrico (passo a passo).
  • Fórmulas trigonométricas que vamos usar (tudo em TeX):
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.
  • Suponha que \alpha e \beta são construtíveis, então \cos\alpha e \cos\beta são números construtíveis (Passo 2 e 3). Pelos raciocínios do Passo 4, \sin\alpha e \sin\beta também são construtíveis (extração de raiz quadrada a partir de 1-\cos^2).
  • Agora observe que as fórmulas acima expressam \cos(\alpha\pm\beta) apenas em termos de soma, produto e subtração de números que já sabemos construtíveis. Essas operações mantêm a construtibilidade. Portanto \cos(\alpha\pm\beta) é construtível, e assim \alpha\pm\beta é construtível (pois ângulo construtível ↔ cosseno construtível).
  • Conclusão algébrica: soma e diferença de ângulos construtíveis são construtíveis.

Passo 6

Soma e diferença de ângulos — construção geométrica (como fazer na prova com régua e compasso).
  • Construção da soma \alpha+\beta:
    1. No papel, construa um vértice O e dois raios formando o primeiro ângulo \alpha. No primeiro raio escolha um ponto A.
    2. Copie o segundo ângulo \beta com vértice em A (procedimento padrão: traçar arco em A, marcar intersecções, etc.). O novo raio a partir de A ao ser ligado a O gera o segundo segmento que, visto do vértice O, tem direção formando \alpha+\beta.
    3. Em resumo: “colar” um ângulo depois do outro soma-os — é uma construção direta, feita por cópia de ângulo.
  • Construção da diferença \alpha-\beta: copiar o ângulo \beta na direção oposta e proceder de forma análoga (ou copiar \beta e subtrair geometricamente colocando-o na outra direção).
    Essas construções são operações primárias com régua e compasso e são muito simples: copiar ângulo e transladar (sem escala) é permitido.

Passo 7

Dobro de um ângulo — argumento algébrico e geométrico.
  • Álgebra: use a identidade
\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1.
Se \cos\theta é construtível, então \cos^2\theta é construtível e a combinação 2\cos^2\theta-1 é construível. Assim \cos(2\theta) é construtível → 2\theta é construtível.
  • Geometria: para dobrar um ângulo basta copiar o mesmo ângulo adjacente a ele (igual ao passo de soma com \alpha=\beta). Geometricamente, construir \theta duas vezes seguido produz 2\theta.

Passo 8

Metade de um ângulo — argumento algébróico e construção geométrica (bissetriz).
  • Álgebra: usar a fórmula de metade (em termos do cosseno):
\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}.
Se \cos\theta é construtível então \frac{1+\cos\theta}{2} é construtível; tomar raiz quadrada preserva construibilidade. Portanto \cos(\theta/2) é construtível → \theta/2 é construtível.
  • Geometria (construção da bissetriz): procedimento clássico com régua e compasso:
    1. Dado o vértice O e os dois raios que formam \theta, trace um arco de centro O que corte os dois lados em A e B.
    2. Com compasso, faça arcos de mesmo raio centrados em A e B que se intersectem em C.
    3. Traçar a reta OC. Essa reta é a bissetriz do ângulo (divide \theta em duas partes iguais).
      Esse procedimento é padrão em qualquer prova de construção e é executável sempre (não há restrição).

Passo 9

Limitações — por que nem toda operação que pareça “simples” é possível: exemplo da trisseção de ângulo.
  • Afirmação: não é possível, em geral, trisecar arbitrariamente um ângulo com régua e compasso. Mostro um exemplo clássico e curto: trísecar \,60^\circ.
  • Demonstração algébrica que \,20^\circ (o terço de 60^\circ) não é construtível:
    1. Use a fórmula do cosseno do triplo ângulo: \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x.
    2. Se x=20^\circ então 3x=60^\circ e \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}. Logo c=\cos 20^\circ satisfaz
    4c^3-3c=\tfrac{1}{2}.Multiplicando por 2 obtemos a forma polinomial 8c^3-6c-1=0.
    1. Esse polinômio é irreducível sobre \mathbb{Q} (teste rápido: racional root test mostra que \pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18 não são raízes; portanto não tem raiz racional e não se fatoriza linearmente; mas o mais direto é saber que seu grau mínimo é 3). Assim o número \cos20^\circ tem grau algébrico 3 sobre \mathbb{Q}.
    2. Critério de construibilidade: um número algébrico é construtível apenas se o grau do seu corpo gerador sobre \mathbb{Q} for potência de 2. Aqui o grau é 3, que não é potência de 2, logo \cos20^\circ não é construtível e \,20^\circ não é construtível.
  • Conclusão: embora soma, diferença, dobro e metade sejam operações permitidas (fecham o conjunto de ângulos construtíveis), outras operações como “trisseção arbitrária” podem falhar. O exemplo 60^\circ 20^\circ mostra uma impossibilidade clássica.

Passo 10

Observações práticas e dicas para prova (como usar isso na hora H).
  • Regra prática: para decidir se um ângulo \theta é construtível pergunte: o número \cos\theta é obtido por operações racionais e extrações finitas de raízes quadradas? Em termos algébricos, isso significa que o grau do corpo \mathbb{Q}(\cos\theta) sobre \mathbb{Q} deve ser potência de 2.
  • Operações que sempre funcionam (podemos aplicar sem medo): soma, diferença, dobro, metade — todas mantêm a construibilidade (explicações algébricas nos passos anteriores).
  • Operações que nem sempre funcionam: divisão em n partes iguais para n arbitrário. Em particular, trisseção geral falha (ex.: \,20^\circ não é construtível).
  • Exemplos fáceis para fixar:
    • \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} é construtível (grau 1).
    • \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2} é construtível (envolve uma raiz quadrada).
    • \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2} é construtível (envolve raiz quadrada).
    • \cos 20^\circ não é construtível (veja Passo 9).
  • Como recordar rápido: construções com régua e compasso introduzem apenas extensões quadráticas; portanto todo aviso sobre polinômios mínimos e grau em 2^k é decisivo.

Resposta

Soma de ângulos construtíveis: construtível (sempre).
Diferença de ângulos construtíveis: construtível (sempre).
Dobro de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Metade (bissetriz) de um ângulo construtível: construtível (sempre).
Observação importante: trisseção arbitrária de ângulos não é sempre possível; exemplo concreto: \,20^\circ (terço de \,60^\circ) não é construtível, pois \cos20^\circ é raiz do polinômio 8x^3-6x-1 de grau 3, não potência de 2.

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