Mostre que os ângulos abaixo são construtíveis:
\frac{17 \pi}{30};

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que o ângulo \frac{17\pi}{30} é construtível com régua e compasso.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • O ângulo a construir é \frac{17\pi}{30}.
  • Posso usar construções clássicas (copiar ângulo, somar/subtrair ângulos, bissetriz) e fatos conhecidos sobre polígonos regulares construíveis.

Passo 2

O que significa “ângulo construtível” e propriedades que vou usar (explicadas de forma prática).
  • Um ângulo é construtível se, dado um segmento qualquer, consigo construir dois raios com abertura igual a esse ângulo usando apenas régua não graduada e compasso.
  • Propriedades úteis (por que posso usá‑las na prova):
    1. Se os ângulos \alpha e \beta são construtíveis, então \alpha+\beta e \alpha-\beta são construíveis. Explicação prática: posso construir um ângulo de abertura \alpha num vértice, e a partir de um dos seus lados reproduzir (copiar) o ângulo \beta de forma adjacente — o ângulo total é \alpha+\beta. Copiar ângulo é uma construção padrão com compasso (traçar arcos e alinhar interseções).
    2. Se \alpha é construtível, então sua bissetriz (ângulo \alpha/2) é construtível. Explicação prática: a construção da bissetriz é um procedimento clássico: com compasso traça arcos que cortam os dois lados de \alpha, depois com o mesmo raio traça arcos a partir dessas interseções e liga o vértice ao ponto de interseção desses arcos — essa reta é a bissetriz.
    3. Um fato teórico que usarei (teorema clássico de Gauss-Wantzel, explicado em palavras): o polígono regular de n lados é construível por régua e compasso se, e somente se, n é da forma
    n = 2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r},em que os p_i são primos de Fermat distintos (primos da forma F_m=2^{2^{m}}+1). Exemplos de primos de Fermat conhecidos: F_{0}=3, F_{1}=5, F_{2}=17, etc. Dessa consequência prática: se n tem apenas fatores 2 e primos de Fermat distintos, então o ângulo central 360^\circ/n é construível; então qualquer ângulo obtido por somas/subtrações e bisseções desses é também construível.

Passo 3

Converto o ângulo dado para graus (fica mais intuitivo para montar a construção):
\frac{17\pi}{30} = 17\cdot\frac{180^\circ}{30} = 17\cdot 6^\circ = 102^\circ.
Logo preciso construir \;102^\circ.

Passo 4

Procuro decompor \;102^\circ em ângulos que eu saiba (ou possa justificar) serem construtíveis. Uma decomposição conveniente é
102^\circ = 60^\circ + 36^\circ + 6^\circ.
Vou justificar que cada parcela é construtível.

Passo 5

Justifico que 60^\circ é construtível.
  • Construção prática: basta traçar um triângulo equilátero sobre um segmento qualquer; os ângulos internos valem \;60^\circ. Portanto \;60^\circ é construtível.

Passo 6

Justifico que 36^\circ é construtível.
  • Observação: 36^\circ é metade de 72^\circ, o ângulo central de um pentágono regular (360°/5 = 72°).
  • O pentágono regular é construível porque 5 é primo de Fermat ( 5=F_1=2^{2^1}+1). Pelo teorema citado, o polígono regular de 5 lados é construível; logo o ângulo central 72^\circ é construível e, aplicando bisseção, 36^\circ também é construível.
  • Nota prática: existe também uma demonstração algébrica clássica que dá \cos 36^\circ = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}, o que mostra que \cos 36^\circ é obtido por extração de raízes quadradas (portanto é um número construtível), e daí \;36^\circ é construtível.

Passo 7

Justifico que 6^\circ é construtível.
  • Primeiro vejo que 12^\circ é construtível: 12^\circ é o ângulo central de um polígono regular de 30 lados, pois 360^\circ/30=12^\circ. Agora 30 = 2\cdot 3\cdot 5 e 3 e 5 são primos de Fermat ( 3=F_0,\;5=F_1), então 30 é da forma permitida pelo teorema (potência de 2 vezes primos de Fermat distintos). Logo o polígono regular de 30 lados é construível e o ângulo central 12^\circ é construtível.
  • Como bissetriz é permitida, 6^\circ = 12^\circ / 2 também é construtível.

Passo 8

Agora junto as partes usando as propriedades de soma e bisseção. Já estabeleci que \;60^\circ, \;36^\circ e \;6^\circ são construíveis. Pela propriedade (Passo 2) de somar ângulos construtíveis, \;60^\circ + 36^\circ = 96^\circ é construível; somando depois 6^\circ obtemos \;96^\circ + 6^\circ = 102^\circ também construível. Portanto \;102^\circ é construtível.

Passo 9

Concluo em radianos: \;102^\circ = \dfrac{17\pi}{30}, logo o ângulo \dfrac{17\pi}{30} é construtível com régua e compasso.

Resposta

\dfrac{17\pi}{30} é construtível.

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