Mostre que os ângulos abaixo são construtíveis:
;
Passo 1
O enunciado pede: mostrar que o ângulo
é construtível com régua e compasso.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
- O ângulo a construir é
. - Posso usar construções clássicas (copiar ângulo, somar/subtrair ângulos, bissetriz) e fatos conhecidos sobre polígonos regulares construíveis.
Passo 2
O que significa “ângulo construtível” e propriedades que vou usar (explicadas de forma prática).
- Um ângulo é construtível se, dado um segmento qualquer, consigo construir dois raios com abertura igual a esse ângulo usando apenas régua não graduada e compasso.
- Propriedades úteis (por que posso usá‑las na prova):
- Se os ângulos
e são construtíveis, então e são construíveis. Explicação prática: posso construir um ângulo de abertura num vértice, e a partir de um dos seus lados reproduzir (copiar) o ângulo de forma adjacente — o ângulo total é . Copiar ângulo é uma construção padrão com compasso (traçar arcos e alinhar interseções). - Se
é construtível, então sua bissetriz (ângulo ) é construtível. Explicação prática: a construção da bissetriz é um procedimento clássico: com compasso traça arcos que cortam os dois lados de , depois com o mesmo raio traça arcos a partir dessas interseções e liga o vértice ao ponto de interseção desses arcos — essa reta é a bissetriz. - Um fato teórico que usarei (teorema clássico de Gauss-Wantzel, explicado em palavras): o polígono regular de
lados é construível por régua e compasso se, e somente se, é da forma
em que os são primos de Fermat distintos (primos da forma ). Exemplos de primos de Fermat conhecidos: , , , etc. Dessa consequência prática: se tem apenas fatores e primos de Fermat distintos, então o ângulo central é construível; então qualquer ângulo obtido por somas/subtrações e bisseções desses é também construível. - Se os ângulos
Passo 3
Converto o ângulo dado para graus (fica mais intuitivo para montar a construção):
Logo preciso construir
.
Passo 4
Procuro decompor
em ângulos que eu saiba (ou possa justificar) serem construtíveis. Uma decomposição conveniente é
Vou justificar que cada parcela é construtível.
Passo 5
Justifico que
é construtível.
- Construção prática: basta traçar um triângulo equilátero sobre um segmento qualquer; os ângulos internos valem
. Portanto é construtível.
Passo 6
Justifico que
é construtível.
- Observação:
é metade de , o ângulo central de um pentágono regular (360°/5 = 72°). - O pentágono regular é construível porque
é primo de Fermat ( ). Pelo teorema citado, o polígono regular de lados é construível; logo o ângulo central é construível e, aplicando bisseção, também é construível. - Nota prática: existe também uma demonstração algébrica clássica que dá
, o que mostra que é obtido por extração de raízes quadradas (portanto é um número construtível), e daí é construtível.
Passo 7
Justifico que
é construtível.
- Primeiro vejo que
é construtível: é o ângulo central de um polígono regular de lados, pois . Agora e e são primos de Fermat ( ), então é da forma permitida pelo teorema (potência de vezes primos de Fermat distintos). Logo o polígono regular de lados é construível e o ângulo central é construtível. - Como bissetriz é permitida,
também é construtível.
Passo 8
Agora junto as partes usando as propriedades de soma e bisseção. Já estabeleci que
,
e
são construíveis. Pela propriedade (Passo 2) de somar ângulos construtíveis,
é construível; somando depois
obtemos
também construível. Portanto
é construtível.
Passo 9
Concluo em radianos:
, logo o ângulo
é construtível com régua e compasso.