Mostre que os ângulos abaixo são construtíveis:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que o ângulo
é construtível com régua e compasso.
Informações dadas: o único dado numérico é o próprio ângulo .
Objetivo claro: mostrar uma construção (ou argumento teórico) que permita produzir esse ângulo com régua e compasso.
Informações dadas: o único dado numérico é o próprio ângulo
Objetivo claro: mostrar uma construção (ou argumento teórico) que permita produzir esse ângulo com régua e compasso.
Passo 2
O que significa “ângulo construtível” e a ferramenta que vamos usar.
Definição intuitiva: um ângulo é construtível se, a partir de um segmento dado, com régua não graduada e compasso é possível traçar dois raios que formem esse ângulo. Equivalentemente, o cosseno do ângulo deve ser um número que se obtém a partir de operações racionais e extrações de raízes quadradas finitas (os números construtíveis).
Teorema que vamos usar (Gauss–Wantzel, sem demonstrar aqui): um polígono regular de lados é construtível por régua e compasso se, e só se,
Definição intuitiva: um ângulo é construtível se, a partir de um segmento dado, com régua não graduada e compasso é possível traçar dois raios que formem esse ângulo. Equivalentemente, o cosseno do ângulo deve ser um número que se obtém a partir de operações racionais e extrações de raízes quadradas finitas (os números construtíveis).
Teorema que vamos usar (Gauss–Wantzel, sem demonstrar aqui): um polígono regular de
onde
e cada
é uma (distinta) primeira de Fermat, isto é, um primo da forma
Explico rápido o que são primos de Fermat úteis aqui: para
temos
, para
temos
. Ambos são primos de Fermat conhecidos. (Outros primos de Fermat conhecidos:
.)
Passo 3
Aplicação ao nosso caso: ligar o ângulo com um polígono regular.
Observe que
Observe que
O ângulo central de um polígono regular de
lados é
Portanto, se conseguirmos construir um polígono regular de
lados, teremos
construído; então basta tomar
vezes esse setor para obter
.
Passo 4
Verificar que o polígon regular de
lados é construtível.
Decompondo temos
Decompondo
Isto se encaixa na forma do teorema porque
, e
e
são primos de Fermat (veja passo 2). Logo, pela condição de Gauss–Wantzel, o polígono regular de
lados é construtível com régua e compasso. Consequência imediata: o ângulo central
é construtível.
Passo 5
Como, construtivamente, obter
a partir de
.
Procedimento prático e intuitivo que se pode executar em prova:
Procedimento prático e intuitivo que se pode executar em prova:
- Desenhe uma circunferência com centro
. - Construa (ou assuma que se pode construir, por causa do teorema) um vértice
e, ao redor da circunferência, marque sucessivamente os vértices do polígono regular de lados: . Cada arco consecutivo subtende o ângulo central . - O ângulo
vale exatamente . Para obter esse vértice basta copiar o passo do vértice a vértice (ou usar a propriedade de que, a partir de um polígono regular construído, podemos contar 11 vértices). Copiar um ângulo com régua e compasso ou transladar a divisão em arcos é operação padrão de construção.
Alternativa curta: construa um polígono regular delados (já que também satisfaz a condição) e então bisete cada ângulo central para obter o polígono de lados; depois conte 11 arcos de .
Passo 6
Resumo da razão lógica (para você repetir na prova):
- Pelo teorema de Gauss–Wantzel,
tem a forma exigida (potência de vezes primos de Fermat distintos), então o polígono regular de lados é construtível. - Logo o ângulo central
é construtível. - Como você pode somar/construir múltiplos inteiros de um ângulo construtível,
também é construtível.