Mostre que os ângulos abaixo são construtíveis:
\frac{11 \pi}{15};

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que o ângulo \frac{11\pi}{15} é construtível com régua e compasso.
Informações dadas: o único dado numérico é o próprio ângulo \frac{11\pi}{15}.
Objetivo claro: mostrar uma construção (ou argumento teórico) que permita produzir esse ângulo com régua e compasso.

Passo 2

O que significa “ângulo construtível” e a ferramenta que vamos usar.
Definição intuitiva: um ângulo é construtível se, a partir de um segmento dado, com régua não graduada e compasso é possível traçar dois raios que formem esse ângulo. Equivalentemente, o cosseno do ângulo deve ser um número que se obtém a partir de operações racionais e extrações de raízes quadradas finitas (os números construtíveis).
Teorema que vamos usar (Gauss–Wantzel, sem demonstrar aqui): um polígono regular de n lados é construtível por régua e compasso se, e só se,
n = 2^{k}\prod_{i} F_{i},
onde k\ge 0 e cada F_{i} é uma (distinta) primeira de Fermat, isto é, um primo da forma
F = 2^{2^{m}}+1.
Explico rápido o que são primos de Fermat úteis aqui: para m=0 temos 2^{2^{0}}+1=3, para m=1 temos 2^{2^{1}}+1=5. Ambos são primos de Fermat conhecidos. (Outros primos de Fermat conhecidos: 17,257,65537.)

Passo 3

Aplicação ao nosso caso: ligar o ângulo com um polígono regular.
Observe que
\frac{11\pi}{15}=11\cdot\frac{\pi}{15}.
O ângulo central de um polígono regular de 30 lados é
\frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15}.
Portanto, se conseguirmos construir um polígono regular de 30 lados, teremos \frac{\pi}{15} construído; então basta tomar 11 vezes esse setor para obter \frac{11\pi}{15}.

Passo 4

Verificar que o polígon regular de 30 lados é construtível.
Decompondo 30 temos
30 = 2\cdot 3\cdot 5.
Isto se encaixa na forma do teorema porque 30=2^{1}\cdot 3\cdot 5, e 3 e 5 são primos de Fermat (veja passo 2). Logo, pela condição de Gauss–Wantzel, o polígono regular de 30 lados é construtível com régua e compasso. Consequência imediata: o ângulo central \frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15} é construtível.

Passo 5

Como, construtivamente, obter \frac{11\pi}{15} a partir de \frac{\pi}{15}.
Procedimento prático e intuitivo que se pode executar em prova:
  • Desenhe uma circunferência com centro O.
  • Construa (ou assuma que se pode construir, por causa do teorema) um vértice A e, ao redor da circunferência, marque sucessivamente os vértices do polígono regular de 30 lados: A=A_0,A_1,A_2,\dots,A_{29}. Cada arco consecutivo subtende o ângulo central \frac{\pi}{15}.
  • O ângulo \angle A O A_{11} vale exatamente 11\cdot\frac{\pi}{15}=\frac{11\pi}{15}. Para obter esse vértice A_{11} basta copiar o passo do vértice a vértice (ou usar a propriedade de que, a partir de um polígono regular construído, podemos contar 11 vértices). Copiar um ângulo com régua e compasso ou transladar a divisão em arcos é operação padrão de construção.
    Alternativa curta: construa um polígono regular de 15 lados (já que 15=3\cdot5 também satisfaz a condição) e então bisete cada ângulo central para obter o polígono de 30 lados; depois conte 11 arcos de \frac{\pi}{15}.

Passo 6

Resumo da razão lógica (para você repetir na prova):
  • Pelo teorema de Gauss–Wantzel, 30=2\cdot3\cdot5 tem a forma exigida (potência de 2 vezes primos de Fermat distintos), então o polígono regular de 30 lados é construtível.
  • Logo o ângulo central \frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15} é construtível.
  • Como você pode somar/construir múltiplos inteiros de um ângulo construtível, 11\cdot\frac{\pi}{15}=\frac{11\pi}{15} também é construtível.

Resposta

\displaystyle \frac{11\pi}{15} é construtível.

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