Discuta a continuidade da função
nos exercícios abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a continuidade de
seja discutida. As perguntas implícitas que vou responder são:
- Para quais pontos
a função está definida (domínio)? - Em que pontos ela é contínua?
- O que acontece nos pontos onde a expressão acima não está definida (linhas
e ) — existe limite, é possível estender a função de forma contínua aí?
As informações relevantes já presentes no enunciado são a expressão do numerador
e do denominador
.
Passo 2
Determinar o domínio: a função racional só está definida quando o denominador é diferente de zero. Portanto o domínio
é
Escrevendo em termos mais geométricos,
se e somente se
ou
. Logo o domínio é o plano
com as duas retas diagonais removidas:
Passo 3
Continuidade nos pontos do domínio: chamo atenção para um fato básico e muito útil:
- Polinômios em
são funções contínuas. - Se
e são contínuas em um ponto e não é zero nesse ponto, então é contínua nesse ponto.
Aqui o numerador
e o denominador
são polinômios (portanto contínuos). Em qualquer ponto do domínio o denominador é diferente de zero. Logo, por essa propriedade,
é contínua em todo ponto de
. Em palavras mais amigáveis: onde a expressão faz sentido (denominador não zero),
é contínua porque é uma divisão de funções contínuas sem divisão por zero.
Passo 4
Analisar pontos sobre as retas
e
(onde
não está definida): primeiro observação lógica: se um ponto não pertence ao domínio, a função não pode ser contínua nesse ponto no sentido usual, porque continuidade exige que a função esteja definida no ponto. No entanto, às vezes é possível que o limite da função ao se aproximar do ponto exista e seja finito; nesse caso poderia-se “estender” a função definindo um valor adequado ali. Então precisamos verificar se existe limite em pontos dessas retas.
Vou estudar dois casos: pontos da reta com coordenadas não-nulas (p.ex.
com
) e o caso especial do ponto
.
Passo 5
Comportamento perto de um ponto
com
: para analisar, é conveniente fatorar o denominador:
É útil mudar de coordenadas locais definindo
e
. Então
Substituindo, o numerador fica
e o denominador fica
. Assim
Agora, para um ponto
temos
(constante não nula) e
ao aproximar-se da reta
. Na expressão acima o termo
tende para
ou
conforme
se aproxima de
por valores positivos ou negativos. Portanto ao aproximar-se de
a função fica arbitrariamente grande em módulo (diverge para infinito com sinal dependente da direção), logo não existe limite finito em
. Conclusão: não há como estender
continuamente em nenhum ponto
com
. A mesma análise aplicada a pontos da reta
(onde
e
para um ponto
com
) mostra comportamento análogo: divergência por conta do termo
quando
. Logo também não existe limite finito nesses pontos.
Passo 6
Comportamento no ponto
: neste ponto tanto
quanto
. É um caso especial e vale checar existência de limite por caminhos diferentes. Uma escolha simples de caminhos são as retas através da origem
com constante
. Substituindo
com
(para evitar denominador zero nos pontos da reta) obtemos
para
. Isso mostra que ao aproximar a origem ao longo da reta
(com
) o valor de
tende ao número constante
. Como esse valor depende de
, temos limites diferentes ao aproximar-se por retas de inclinações diferentes. Por exemplo:
- Se
(eixo ), o limite é . - Se
, o limite é .
Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, o limite total emnão existe. Portanto não há extensão contínua de em .
Passo 7
Resumo e interpretação qualitativa: onde
a função é contínua (é uma razão de polinômios com denomínio não nulo). Nas duas retas
e
a função não está definida; para pontos dessas retas com coordenadas não nulas a função diverge quando se aproxima (logo não há limite finito) e, no caso especial da origem, o limite é dependente do caminho (portanto não existe). Em nenhum ponto dessas retas é possível definir um valor que torne
contínua ali.