Discuta a continuidade da função f nos exercícios abaixo:
f(x, y)=\frac{x y}{\left(x^{2}-y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x y}{\left(x^{2}-y^{2}\right)}
e pede que a continuidade de f seja discutida. As perguntas implícitas que vou responder são:
  • Para quais pontos (x,y) a função está definida (domínio)?
  • Em que pontos ela é contínua?
  • O que acontece nos pontos onde a expressão acima não está definida (linhas x=y e x=-y) — existe limite, é possível estender a função de forma contínua aí?
As informações relevantes já presentes no enunciado são a expressão do numerador x y e do denominador x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Determinar o domínio: a função racional só está definida quando o denominador é diferente de zero. Portanto o domínio D é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}.
Escrevendo em termos mais geométricos, x^{2}-y^{2}=0 se e somente se x=y ou x=-y. Logo o domínio é o plano \mathbb{R}^2 com as duas retas diagonais removidas:
D=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,y)\mid x=y\\ \text{ou}\\ x=-y\}.

Passo 3

Continuidade nos pontos do domínio: chamo atenção para um fato básico e muito útil:
  • Polinômios em \mathbb{R}^n são funções contínuas.
  • Se g e h são contínuas em um ponto e h não é zero nesse ponto, então g/h é contínua nesse ponto.
Aqui o numerador x y e o denominador x^{2}-y^{2} são polinômios (portanto contínuos). Em qualquer ponto do domínio o denominador é diferente de zero. Logo, por essa propriedade, f é contínua em todo ponto de D. Em palavras mais amigáveis: onde a expressão faz sentido (denominador não zero), f é contínua porque é uma divisão de funções contínuas sem divisão por zero.

Passo 4

Analisar pontos sobre as retas x=y e x=-y (onde f não está definida): primeiro observação lógica: se um ponto não pertence ao domínio, a função não pode ser contínua nesse ponto no sentido usual, porque continuidade exige que a função esteja definida no ponto. No entanto, às vezes é possível que o limite da função ao se aproximar do ponto exista e seja finito; nesse caso poderia-se “estender” a função definindo um valor adequado ali. Então precisamos verificar se existe limite em pontos dessas retas.
Vou estudar dois casos: pontos da reta com coordenadas não-nulas (p.ex. (a,a) com a\neq0) e o caso especial do ponto (0,0).

Passo 5

Comportamento perto de um ponto (a,a) com a\neq 0: para analisar, é conveniente fatorar o denominador:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
É útil mudar de coordenadas locais definindo u=x-y e v=x+y. Então
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}.
Substituindo, o numerador fica
x y=\frac{v^{2}-u^{2}}{4},
e o denominador fica u v. Assim
f(x,y)=\frac{x y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{v^{2}-u^{2}}{4u v}=\frac{v}{4u}-\frac{u}{4v}.
Agora, para um ponto (a,a) temos v=2a (constante não nula) e u\to 0 ao aproximar-se da reta x=y. Na expressão acima o termo \dfrac{v}{4u} tende para +\infty ou -\infty conforme u se aproxima de 0 por valores positivos ou negativos. Portanto ao aproximar-se de (a,a) a função fica arbitrariamente grande em módulo (diverge para infinito com sinal dependente da direção), logo não existe limite finito em (a,a). Conclusão: não há como estender f continuamente em nenhum ponto (a,a) com a\neq 0. A mesma análise aplicada a pontos da reta x=-y (onde v=0 e u=2a para um ponto (a,-a) com a\neq0) mostra comportamento análogo: divergência por conta do termo -\dfrac{u}{4v} quando v\to 0. Logo também não existe limite finito nesses pontos.

Passo 6

Comportamento no ponto (0,0): neste ponto tanto u=0 quanto v=0. É um caso especial e vale checar existência de limite por caminhos diferentes. Uma escolha simples de caminhos são as retas através da origem y=kx com constante k. Substituindo y=kx com k\neq\pm 1 (para evitar denominador zero nos pontos da reta) obtemos
f(x,kx)=\frac{x\cdot kx}{x^{2}-(kx)^{2}}=\frac{kx^{2}}{x^{2}(1-k^{2})}=\frac{k}{1-k^{2}},
para x\neq 0. Isso mostra que ao aproximar a origem ao longo da reta y=kx (com k\neq\pm 1) o valor de f tende ao número constante \dfrac{k}{1-k^{2}}. Como esse valor depende de k, temos limites diferentes ao aproximar-se por retas de inclinações diferentes. Por exemplo:
  • Se k=0 (eixo x), o limite é 0.
  • Se k=1/2, o limite é \dfrac{1/2}{1-(1/2)^{2}}=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{2}{3}.
    Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, o limite total em (0,0) não existe. Portanto não há extensão contínua de f em (0,0).

Passo 7

Resumo e interpretação qualitativa: onde x^{2}-y^{2}\neq0 a função é contínua (é uma razão de polinômios com denomínio não nulo). Nas duas retas x=y e x=-y a função não está definida; para pontos dessas retas com coordenadas não nulas a função diverge quando se aproxima (logo não há limite finito) e, no caso especial da origem, o limite é dependente do caminho (portanto não existe). Em nenhum ponto dessas retas é possível definir um valor que torne f contínua ali.

Resposta

f é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}.\n
f não está definida e não admite extensão contínua em ponto algum com x^{2}-y^{2}=0 (nas retas x=y e x=-y); para (a,a) e (a,-a) com a\neq0 a função diverge ao aproximar-se, e em (0,0) o limite é dependente do caminho.

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