Suponha que o ponto P esteja se movendo ao longo da curva C em um campo escalar w. Assumindo que a função que gera o campo escalar seja diferenciável, que \vec{T} seja o vetor tangente a C e que P esteja se movendo com a velocidade d s / d t, prove que a taxa instantânea de variação de w em relação ao tempo quando medido num ponto P é dada por
\frac{d s}{d t} \vec{T} \cdot \nabla w=\frac{d s}{d t} D_{\vec{T}} w

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que um ponto P se move ao longo de uma curva C num campo escalar gerado por uma função diferenciável w.
  • Dá que \vec{T} é o vetor tangente à curva C (na prática aqui vamos assumir que \vec T é o vetor tangente unitário, isto é \|\vec T\|=1; se não for unitário a fórmula abaixo usa a versão normalizada).
  • Dá que a velocidade escalar do ponto é \dfrac{d s}{d t} (ou seja, a taxa de variação do parâmetro arco s em função do tempo).
  • Pede para provar que a taxa instantânea de variação de w medida no ponto P em função do tempo é
\frac{d s}{d t}\,\vec{T}\cdot\nabla w=\frac{d s}{d t}\,D_{\vec{T}}w.

Passo 2

Parametrização do movimento e relação entre derivadas:
  • Seja \vec r(t) o vetor posição do ponto P em função do tempo t. Então w ao longo do movimento é a composição t\mapsto w(\vec r(t)).
  • O parâmetro s é o comprimento de arco ao longo da curva; por definição do comprimento de arco,
\frac{d s}{d t}=\big\|\vec r\,'(t)\big\|,
ou seja, a velocidade escalar é a norma da derivada da posição em relação ao tempo.
  • O vetor tangente unitário \vec T pode ser escrito como derivada em relação ao arco:
\vec T=\frac{d\vec r}{d s}.
  • Dessa forma, usando a regra da cadeia para mudanças de variável entre t e s,
\vec r\,'(t)=\frac{d\vec r}{d t}=\frac{d s}{d t}\,\frac{d\vec r}{d s}=\frac{d s}{d t}\,\vec T.
Aqui expliquei passo a passo por que \vec r\,'(t) é produto de (ds/dt) com \vec T: \vec r muda quando o arco s muda; a velocidade temporal é a velocidade do arco vezes a variação da posição por unidade de arco.

Passo 3

Definição do gradiente e do derivada direcional:
  • O gradiente \nabla w(\vec x) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de w. Ele aponta na direção de maior crescimento de w e satisfaz, para qualquer vetor \vec v,
\text{variação de }w\text{ na direção }\vec v \approx \nabla w\cdot\vec v.çãçã
  • A derivada direcional de w na direção do vetor unitário \vec u é definida por
D_{\vec u}w(\vec x)=\nabla w(\vec x)\cdot\vec u.
Se a notação D_{\vec T}w for usada e \vec T for unitário, então D_{\vec T}w=\nabla w\cdot\vec T. (Se \vec T não for unitário convém normalizá-lo antes de usar a definição padrão.)

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia multivariada para obter a variação temporal de w ao longo da trajetória:
  • A derivada temporal de w(\vec r(t)) é dada pela regra da cadeia (forma vetorial do teorema da cadeia):
\frac{d}{d t}\,w(\vec r(t))=\nabla w(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t).
Esta fórmula é análoga à regra da cadeia em uma variável, só que aqui a taxa de variação de w é o produto escalar do gradiente de w com a velocidade da trajetória.

Passo 5

Substituir \vec r\,'(t) e identificar a derivada direcional:
  • Usando a expressão do Passo 2 para \vec r\,'(t) obtemos
\frac{d}{d t}\,w(\vec r(t))=\nabla w(\vec r(t))\cdot\bigg(\frac{d s}{d t}\,\vec T\bigg).
  • Como \dfrac{d s}{d t} é escalar, tira-se para fora do produto escalar:
\frac{d}{d t}\,w(\vec r(t))=\frac{d s}{d t}\,\big(\nabla w(\vec r(t))\cdot\vec T\big).
  • Pela definição do derivada direcional na direção \vec T (assumindo \vec T unitário) tem-se \nabla w\cdot\vec T=D_{\vec T}w. Portanto
\frac{d}{d t}\,w(\vec r(t))=\frac{d s}{d t}\,\vec T\cdot\nabla w=\frac{d s}{d t}\,D_{\vec T}w.

Passo 6

Interpretação final e observação prática:
  • A quantidade \dfrac{d}{dt}w(\vec r(t)) é exatamente a taxa instantânea de variação de w medida no ponto P enquanto ele se move. A fórmula mostra que essa taxa é a velocidade escalar \dfrac{d s}{d t} multiplicada pela taxa de variação de w por unidade de comprimento na direção tangente (isto é, o derivada direcional D_{\vec T}w).
  • Observação sobre normalização: se \vec T não for unitário, escrever explicitamente \hat T=\vec T/\|\vec T\| e então D_{\hat T}w=\nabla w\cdot\hat T; a expressão fica \dfrac{d}{dt}w=(ds/dt)\,\nabla w\cdot\hat T. Na convenção usual de curvas, \vec T denota já o vetor tangente unitário, então usamos diretamente D_{\vec T}w.

Resposta

\frac{d}{d t}\,w(\vec r(t))=\frac{d s}{d t}\,\vec T\cdot\nabla w=\frac{d s}{d t}\,D_{\vec T}w.

Exercícios relacionados