Encontre a equação do plano tangente e a equação da reta normal para o gráfico de cada função
de duas variáveis, no ponto indicado
em (
)
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis e o ponto onde devemos trabalhar:
- Função:
. - Ponto indicado no gráfico:
. (Isto significa , e .)
O que é pedido:
- A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto . - A equação da reta normal ao gráfico (ou seja, reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tangente) no mesmo ponto.
Passo 2
Primeira coisa prática: calcular
, o valor de
no ponto
.
Logo o ponto no gráfico realmente é
. (Nada complicado: multiplicou por zero.)
Passo 3
Explicando a ideia do plano tangente (aula rápida e prática).
- Para uma superfície dada por
, o plano tangente em é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. - A fórmula padrão do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vou explicar e calcular essas derivadas no passo seguinte.
Passo 4
O que são derivadas parciais e como calcular aqui (mini-aula).
-
é a derivada de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada de em relação a , tratando como constante.
Para nossa: - Derivando em relação a
(segurando ):
(Essencialmente é uma regra de produto simples:
e multiplicamos pelo fator que depende de
.)
- Derivando em relação a
(segurando ): usar a regra da cadeia. tem derivada .
Passo 5
Avaliar as derivadas no ponto
.
Portanto ambas as derivadas parciais valem
no ponto dado.
Passo 6
Agora montar o plano tangente usando a fórmula do passo 3 e os valores encontrados.
Substituindo ,
,
,
,
:
Substituindo
Logo
Interpretação rápida: o plano tangente é o plano horizontal
— a superfície tem inclinação zero nas direções
e
naquele ponto.
Passo 7
Agora a reta normal. Primeiro a ideia:
- Para a superfície definida por
podemos considerar . O vetor normal à superfície é . - Avaliando no ponto, obtemos a direção da reta normal; então a reta normal é a reta que passa por
com essa direção.
Calcule
no ponto
:
Uma direção equivalente é
(multiplicação por
só inverte o sentido). Portanto a reta normal é a reta que passa por
no sentido do eixo
.
Equações paramétricas da reta (com parâmetro
):
Ou em forma vetorial:
Passo 8
Resumo curto dos resultados prontos para a prova: o plano tangente e a reta normal obtidos são simples e intuitivos (plano horizontal e reta ao longo do eixo
) dado que as derivadas parciais no ponto são zero.
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):
Reta normal (paramétrica):