Encontre a equação do plano tangente e a equação da reta normal para o gráfico de cada função g de duas variáveis, no ponto indicado
g(x, y)=x \sin \left(\frac{\pi y}{2}\right) em ( 0,0,0 )

Passo 1

O enunciado dá a função g de duas variáveis e o ponto onde devemos trabalhar:
  • Função: g(x,y)=x\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right).
  • Ponto indicado no gráfico: (0,0,0). (Isto significa x_0=0, y_0=0 e z_0=g(0,0).)
O que é pedido:
  1. A equação do plano tangente ao gráfico de z=g(x,y) no ponto (0,0,0).
  2. A equação da reta normal ao gráfico (ou seja, reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tangente) no mesmo ponto.

Passo 2

Primeira coisa prática: calcular z_0, o valor de g no ponto (0,0).
z_0=g(0,0)=0\cdot\sin\!\left(\dfrac{\pi\cdot 0}{2}\right)=0\cdot\sin(0)=0.
Logo o ponto no gráfico realmente é (0,0,0). (Nada complicado: multiplicou por zero.)

Passo 3

Explicando a ideia do plano tangente (aula rápida e prática).
  • Para uma superfície dada por z=g(x,y), o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto.
  • A fórmula padrão do plano tangente é
z-z_0 = g_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + g_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y. Vou explicar e calcular essas derivadas no passo seguinte.

Passo 4

O que são derivadas parciais e como calcular aqui (mini-aula).
  • g_x(x,y) é a derivada de g em relação a x, tratando y como constante.
  • g_y(x,y) é a derivada de g em relação a y, tratando x como constante.
    Para nossa g(x,y)=x\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right):
  • Derivando em relação a x (segurando y):
g_x(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right).
(Essencialmente é uma regra de produto simples: \partial(x)/\partial x =1 e multiplicamos pelo fator que depende de y.)
  • Derivando em relação a y (segurando x): usar a regra da cadeia. \sin(u) tem derivada \cos(u)\cdot u'.
g_y(x,y)=x\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Avaliar as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(0,0).
g_x(0,0)=\sin\!\left(\dfrac{\pi\cdot 0}{2}\right)=\sin(0)=0,
g_y(0,0)=0\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi\cdot 0}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\cdot\cos(0)\cdot\dfrac{\pi}{2}=0.
Portanto ambas as derivadas parciais valem 0 no ponto dado.

Passo 6

Agora montar o plano tangente usando a fórmula do passo 3 e os valores encontrados.
Substituindo x_0=0, y_0=0, z_0=0, g_x(0,0)=0, g_y(0,0)=0:
z-0 = 0\cdot (x-0) + 0\cdot (y-0).
Logo
z=0.
Interpretação rápida: o plano tangente é o plano horizontal z=0 — a superfície tem inclinação zero nas direções x e y naquele ponto.

Passo 7

Agora a reta normal. Primeiro a ideia:
  • Para a superfície definida por z=g(x,y) podemos considerar F(x,y,z)=g(x,y)-z. O vetor normal à superfície é \nabla F=(g_x,g_y,-1).
  • Avaliando no ponto, obtemos a direção da reta normal; então a reta normal é a reta que passa por (x_0,y_0,z_0) com essa direção.
Calcule \nabla F no ponto (0,0,0):
\nabla F(0,0,0) = \big(g_x(0,0),\; g_y(0,0),\; -1\big) = (0,0,-1).
Uma direção equivalente é (0,0,1) (multiplicação por -1 só inverte o sentido). Portanto a reta normal é a reta que passa por (0,0,0) no sentido do eixo z.
Equações paramétricas da reta (com parâmetro t):
x(t)=0,\qquad y(t)=0,\qquad z(t)=0+t=t.
Ou em forma vetorial:
\big(x,y,z\big) = (0,0,0) + t\,(0,0,1).

Passo 8

Resumo curto dos resultados prontos para a prova: o plano tangente e a reta normal obtidos são simples e intuitivos (plano horizontal e reta ao longo do eixo z) dado que as derivadas parciais no ponto são zero.

Resposta

Plano tangente: z=0
Reta normal (paramétrica): x=0,\\ y=0,\\ z=t,\\ t\in\mathbb{R}

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