Discuta a convergência de cada integral imprópria a seguir e, quando convergente, calcule seu valor exato.
.
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
e, quando convergente, calcular o seu valor exato.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A integral é sobre o intervalo
. - A função integranda é
. - Pontos a observar para impropriedades:
(extremo inferior) e (infinito).
Passo 2
Verificar comportamento em
.
A função é contínua em porque
A função é contínua em
Para qualquer intervalo finito que contenha
(por exemplo
), a função é contínua e portanto integrável ali. Logo não há problema de divergência em
.
Passo 3
Verificar comportamento em
.
Para analisar a cauda, compare a integranda com uma função de tipo potência. Para tem-se
Para analisar a cauda, compare a integranda com uma função de tipo potência. Para
logo
Sabemos que a integral
converge (é uma p-integral com
). Pelo teste da comparação, a integral
também converge. Combinando com a integrabilidade em
, concluímos que a integral imprópria original converge.
Passo 4
Calcular a integral usando substituição (método direto para obter antiderivada). Considere a substituição
A integral definida por limites impróprios pode ser tratada como limite de integrais próprias; transformando a integral indefinida temos
Integrando,
Portanto uma primitiva é
.
Passo 5
Avaliar a integral imprópria usando a primitiva e limites:
Usando
,
Logo