Discuta a convergência de cada integral imprópria a seguir e, quando convergente, calcule seu valor exato.
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx
e, quando convergente, calcular o seu valor exato.
Informações dadas:
  • A integral é sobre o intervalo [0,\infty).
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Pontos a observar para impropriedades: x=0 (extremo inferior) e x\to\infty (infinito).

Passo 2

Verificar comportamento em x=0.
A função é contínua em x=0 porque
\lim_{x\to 0}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{0}{1}=0.
Para qualquer intervalo finito que contenha 0 (por exemplo [0,1]), a função é contínua e portanto integrável ali. Logo não há problema de divergência em 0.

Passo 3

Verificar comportamento em x\to\infty.
Para analisar a cauda, compare a integranda com uma função de tipo potência. Para x\ge 1 tem-se
(x^{2}+1)^{2}\ge x^{4},
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0\le \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\le \frac{x}{x^{4}}=\frac{1}{x^{3}}.
Sabemos que a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx
converge (é uma p-integral com p=3>1). Pelo teste da comparação, a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx
também converge. Combinando com a integrabilidade em [0,1], concluímos que a integral imprópria original converge.

Passo 4

Calcular a integral usando substituição (método direto para obter antiderivada). Considere a substituição
u=x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
A integral definida por limites impróprios pode ser tratada como limite de integrais próprias; transformando a integral indefinida temos
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Integrando,
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right)+C=-\frac{1}{2u}+C=-\frac{1}{2(x^{2}+1)}+C.
Portanto uma primitiva é F(x)=-\dfrac{1}{2(x^{2}+1)}.

Passo 5

Avaliar a integral imprópria usando a primitiva e limites:
\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[F(R)-F(0)\right].
Usando F(x)=-\dfrac{1}{2(x^{2}+1)},
F(R)=-\frac{1}{2(R^{2}+1)}\xrightarrow[R\to\infty]{}0, \qquad F(0)=-\frac{1}{2(0^{2}+1)}=-\frac{1}{2}.
Logo
\lim_{R\to\infty}\big(F(R)-F(0)\big)=0-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \text{A integral converge e seu valor é } \frac{1}{2}.é

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