Discuta a convergência de cada integral imprópria a seguir e, quando convergente, calcule seu valor exato.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx
e, quando convergente, calcular seu valor exato.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integral é sobre todo o eixo real, de -\infty a +\infty, portanto é uma integral imprópria devido aos limites infinitos.
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{2x}+1}. Observa-se que o denominador e^{2x}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo não há singularidade finita: f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Assim, a única causa de impropriedade é o fato de os limites de integração serem infinitos; resta verificar se a integral impropria converge quando estes limites tendem a infinito.

Passo 2

Definição prática de convergência para esta integral: a integral sobre (-\infty,\infty) converge se o limite
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A} \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx
existe finito (uma maneira equivalente é separar em duas integrais próprias impropriedades: \int_{-\infty}^{0} e \int_{0}^{\infty} e exigir que ambas convirjam). Como f é contínua em qualquer intervalo fechado finito, cada integral \int_{-A}^{A} f(x)\,dx é bem definida; precisamos apenas estudar o comportamento quando A\to\infty.

Passo 3

Escolher um método simples: fazer a substituição exponencial direta u=e^{x}. Isso é natural porque a integranda é escrita em termos de e^{x} e e^{2x}. Explico a substituição passo a passo:
  • Defina u=e^{x}. Então du=e^{x}\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{u}.
  • Quando x\to -\infty tem-se u\to 0^{+}. Quando x\to +\infty tem-se u\to +\infty.
    Agora transforme a integranda:
\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx = \frac{u}{u^{2}+1}\cdot \frac{du}{u} = \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
Portanto a integral sobre todo \mathbb{R} transforma-se em uma integral sobre (0,\infty):
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 4

Avaliar a integral em u. A primitiva conhecida é
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan u + C,
pois a derivada de \arctan u é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Agora calcule o limite impróprio:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \lim_{b\to\infty} \bigl[\arctan u\bigr]_{0}^{b} = \lim_{b\to\infty} \bigl(\arctan b - \arctan 0\bigr).
Como \lim_{b\to\infty}\arctan b = \dfrac{\pi}{2} e \arctan 0 = 0, resulta que a integral converge e vale \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Comentário didático curto (alternativa/checagem): observa-se também que
\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{2\operatorname{cosh} x},
ou seja a função é par e proporcional a \operatorname{sech}x. A convergência pode ser vista também via essa forma, já que \operatorname{sech}x decai exponencialmente quando |x|\to\infty e é integrável em \mathbb{R}. A substituição u=e^{x} foi escolhida por ser direta e transformar a integral numa integral padrão de arco-tangente.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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