Discuta a convergência de cada integral imprópria a seguir e, quando convergente, calcule seu valor exato.
.
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
e, quando convergente, calcular seu valor exato.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integral é sobre todo o eixo real, de
a , portanto é uma integral imprópria devido aos limites infinitos. - A função integranda é
. Observa-se que o denominador para todo , logo não há singularidade finita: é contínua em todo . - Assim, a única causa de impropriedade é o fato de os limites de integração serem infinitos; resta verificar se a integral impropria converge quando estes limites tendem a infinito.
Passo 2
Definição prática de convergência para esta integral: a integral sobre
converge se o limite
existe finito (uma maneira equivalente é separar em duas integrais próprias impropriedades:
e
e exigir que ambas convirjam). Como
é contínua em qualquer intervalo fechado finito, cada integral
é bem definida; precisamos apenas estudar o comportamento quando
.
Passo 3
Escolher um método simples: fazer a substituição exponencial direta
. Isso é natural porque a integranda é escrita em termos de
e
. Explico a substituição passo a passo:
- Defina
. Então , ou seja . - Quando
tem-se . Quando tem-se .
Agora transforme a integranda:
Portanto a integral sobre todo
transforma-se em uma integral sobre
:
Passo 4
Avaliar a integral em
. A primitiva conhecida é
pois a derivada de
é
. Agora calcule o limite impróprio:
Como
e
, resulta que a integral converge e vale
.
Passo 5
Comentário didático curto (alternativa/checagem): observa-se também que
ou seja a função é par e proporcional a
. A convergência pode ser vista também via essa forma, já que
decai exponencialmente quando
e é integrável em
. A substituição
foi escolhida por ser direta e transformar a integral numa integral padrão de arco-tangente.