(2 pontos) Seja
F(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{e^{t}}{t} d t
(a) Obtenha a expressão geral de F^{\prime}(x), utilizando a derivada de uma função definida por uma integral com limites dependentes de x (regra de Leibniz).
(b) Calcule F^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função definida por integral
F(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{e^{t}}{t}\,dt.
O que é pedido:
  • (a) Obter a expressão geral de F^{\prime}(x), usando a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de x (regra de Leibniz).
  • (b) Calcular F^{\prime}(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{e^{t}}{t}.
  • O limite inferior da integral é a(x)=x^{2}.
  • O limite superior da integral é b(x)=x^{3}.
  • Será necessário derivar a(x) e b(x) em relação a x.

Passo 2

Lembrando a regra que vamos usar (regra de Leibniz, caso a integranda não dependa explicitamente de x):
Se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, quando f for contínua nos intervalos relevantes e a e b forem diferenciáveis,
G'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)\;-\;f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicação didática rápida:
  • A parte f(b(x))\,b'(x) vem do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado ao limite superior combinado com a regra da cadeia: variar x muda o ponto b(x), e a derivada da integral em relação ao limite superior é o valor da função integranda nesse limite multiplicado pela taxa de variação do limite.
  • O termo com sinal negativo aparece porque aumentar x aumenta o limite inferior a(x) fazendo a área subtraída crescer; a regra da cadeia dá - f(a(x))\,a'(x).

Passo 3

Identificar na nossa função:
f(t)=\frac{e^{t}}{t},\qquad a(x)=x^{2},\qquad b(x)=x^{3}.
Derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad b'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz:
F'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Substituindo f, a e b:
F'(x)=\frac{e^{x^{3}}}{x^{3}}\cdot 3x^{2}\;-\;\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\cdot 2x.

Passo 5

Simplificar cada termo:
  • No primeiro termo:
\frac{e^{x^{3}}}{x^{3}}\cdot 3x^{2}=3x^{2}\frac{e^{x^{3}}}{x^{3}}=\frac{3e^{x^{3}}}{x}.
(uso 3x^{2}/x^{3}=3/x.)
  • No segundo termo:
\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\cdot 2x=2x\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}=\frac{2e^{x^{2}}}{x}.
Portanto uma forma simplificada é
F'(x)=\frac{3e^{x^{3}}}{x}-\frac{2e^{x^{2}}}{x}=\frac{3e^{x^{3}}-2e^{x^{2}}}{x},
válida para x\neq 0 (observe que em x=0 os limites envolvem t=0 onde f(t)=e^{t}/t não está definida).

Passo 6

Agora calcular F'(1). Usando a forma não simplificada (para acompanhar passo a passo):
F'(1)=\frac{e^{1^{3}}}{1^{3}}\cdot 3\cdot1^{2}\;-\;\frac{e^{1^{2}}}{1^{2}}\cdot 2\cdot1.
Isso é
F'(1)=3e-2e=e.

Resposta

F'(x)=\frac{3e^{x^{3}}-2e^{x^{2}}}{x}\quad (x\neq 0)
F'(1)=e

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