(2 pontos) Seja
(a) Obtenha a expressão geral de
, utilizando a derivada de uma função definida por uma integral com limites dependentes de
(regra de Leibniz).
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função definida por integral
O que é pedido:
- (a) Obter a expressão geral de
, usando a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de (regra de Leibniz). - (b) Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O limite inferior da integral é
. - O limite superior da integral é
. - Será necessário derivar
e em relação a .
Passo 2
Lembrando a regra que vamos usar (regra de Leibniz, caso a integranda não dependa explicitamente de
):
Se
então, quando
for contínua nos intervalos relevantes e
e
forem diferenciáveis,
Explicação didática rápida:
- A parte
vem do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado ao limite superior combinado com a regra da cadeia: variar muda o ponto , e a derivada da integral em relação ao limite superior é o valor da função integranda nesse limite multiplicado pela taxa de variação do limite. - O termo com sinal negativo aparece porque aumentar
aumenta o limite inferior fazendo a área subtraída crescer; a regra da cadeia dá .
Passo 3
Identificar na nossa função:
Derivadas dos limites:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Leibniz:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplificar cada termo:
- No primeiro termo:
(uso
.)
- No segundo termo:
Portanto uma forma simplificada é
válida para
(observe que em
os limites envolvem
onde
não está definida).
Passo 6
Agora calcular
. Usando a forma não simplificada (para acompanhar passo a passo):
Isso é