Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,
onde
a_n = \frac{3^n}{2^n - 1}.
Como temos uma série de termos positivos, podemos usar o teste da razão (d’Alembert) ou o teste da raiz para concluir sobre convergência.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, calculamos
\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}-1}} {\displaystyle \frac{3^n}{2^n-1}} = \lim_{n \to \infty} 3 \,\frac{2^n - 1}{2^{n+1}-1}.

Passo 3

Para avaliar o limite, note que para grandes n temos 2^n-1\sim 2^n e 2^{n+1}-1\sim 2^{n+1}. Logo,
\rho = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{2^n(1 - 2^{-n})}{2^{n+1}(1 - 2^{-n-1})} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Como \rho = \tfrac{3}{2} > 1, o teste da razão diz que a série diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n - 1}
diverge.

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