Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{4^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{4^{n}+1}
usando o critério da comparação. Vamos comparar com uma série geométrica simples, pois sabemos quando ela converge.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
4^{n}+1 > 4^{n}
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\frac{1}{4^{n}+1} < \frac{1}{4^{n}}.
Multiplicando ambos os lados por 5, temos
\frac{5}{4^{n}+1} < \frac{5}{4^{n}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{4^{n}}
é geométrica de primeiro termo \tfrac{5}{4} e razão r=\tfrac14. Como \lvert r\rvert=\tfrac14<1, esta série geométrica converge.

Passo 4

Pelo critério da comparação (termos positivos), se
0 \le \frac{5}{4^{n}+1} \le \frac{5}{4^{n}}
e \sum 5/4^{n} converge, então \sum 5/(4^{n}+1) também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{4^{n}+1} converge, por comparação com a série geométrica de razão \tfrac14.

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