Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 \sqrt[3]{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4\sqrt[3]{n}-1}\,.
O conteúdo principal aqui é usar o Teste da Comparação Limite com uma p-série.

Passo 2

Para comparação, note que para n grande
4\sqrt[3]{n}-1\approx 4n^{1/3},
então defina
b_n = \frac{1}{n^{1/3}}.
A série \sum b_n é uma p-série com expoente p=\tfrac13\le1, logo diverge.

Passo 3

Aplique o Teste da Comparação Limite calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{4n^{1/3}-1}}{\displaystyle\frac{1}{n^{1/3}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/3}}{4n^{1/3}-1} =\frac14,
que é uma constante finita e não nula.

Passo 4

Como esse limite é positivo e finito, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Já que \sum b_n diverge, concluímos que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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