Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}.
Aqui o conteúdo é séries infinitas, em particular séries geométricas e alternantes. Vamos usar o critério da série geométrica e o conceito de convergência absoluta.
Passo 2
Observamos que a série é geométrica de termo geral
a_n = (-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}
e razão
r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = -\frac{1}{3}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{3}<1, a série geométrica converge.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, consideramos