Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}.
Aqui o conteúdo é séries infinitas, em particular séries geométricas e alternantes. Vamos usar o critério da série geométrica e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Observamos que a série é geométrica de termo geral
a_n = (-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}
e razão
r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = -\frac{1}{3}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{3}<1, a série geométrica converge.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl\lvert(-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}\biggr\rvert =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}},
que também é geométrica com razão \tfrac{1}{3}<1. Logo essa série converge, o que implica convergência absoluta da série original.

Passo 4

Podemos ainda calcular a soma exata da série geométrica. O primeiro termo é
a_1 = (-1)^{1}\frac{1}{3} = -\frac{1}{3},
e a soma de uma série geométrica é
S = \frac{a_1}{1-r}.
Substituindo a_1=-\tfrac{1}{3} e r=-\tfrac{1}{3}, temos
S = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)} =\frac{-\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}} =\frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}} =-\tfrac{1}{4}.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é -\tfrac{1}{4}.

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