Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{e^{n}}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular convergência absoluta e teste da série geométrica.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta: consideramos a série dos valores absolutos dos termos, isto é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{1}{e^{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}.
Essa é uma série geométrica com razão
r = \frac{1}{e}\quad\text{e }0<r<1,
portanto ela converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternada dada.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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