Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\frac{n \cos \sqrt{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede que se discuta a convergência da sequência
a_{n}=\frac{n\cos\sqrt{n}}{n^{2}+1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N} (inteiros positivos).
  • Queremos saber se a_n converge quando n\to\infty e, em caso afirmativo, qual é o limite.

Passo 2

Uma informação útil que temos (e que devo ensinar porque é fundamental) é que a função cosseno é sempre limitada entre -1 e 1. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \cos x \le 1.
Isto vale também para x=\sqrt{n}. Essa desigualdade será usada para controlar a_n.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade do cosseno por n/(n^{2}+1) (um número positivo para n\ge1), obtemos uma desigualdade para a_n:
-\frac{n}{n^{2}+1} \le \frac{n\cos\sqrt{n}}{n^{2}+1} \le \frac{n}{n^{2}+1}.
Em notação curta,
-\frac{n}{n^{2}+1} \le a_n \le \frac{n}{n^{2}+1}.

Passo 4

Agora vamos comparar \dfrac{n}{n^{2}+1} com algo cujo limite conhecemos bem. Para n\ge1 tem-se n^{2}+1>n^{2}, então
0\le \frac{n}{n^{2}+1} < \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n}.
Portanto, para n\ge1,
-\frac{1}{n} < -\frac{n}{n^{2}+1} \le a_n \le \frac{n}{n^{2}+1} < \frac{1}{n}.

Passo 5

Lembrando um limite básico (que é importante saber):
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Pelo passo anterior temos que -\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n} convergem ambos para 0 quando n\to\infty.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se uma sequência b_n e outra c_n convergem para o mesmo limite L e b_n\le a_n\le c_n para todo n suficiente grande, então a_n também converge para L. Aqui podemos tomar b_n=-1/n, c_n=1/n (ambas tendendo a 0) e usar a desigualdade do passo 4. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 7

Observação didática alternativa e muito útil na prova: existe um fato geral simples que pode ser usado em situações parecidas — se b_n\to 0 e c_n é limitada (isto é, existe M tal que |c_n|\le M para todo n), então b_n c_n \to 0. Aqui podemos escrever
a_n = \frac{1}{n}\cdot\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\cos\sqrt{n},
ou mais diretamente
a_n = \left(\frac{1}{n}\right)\cdot\big(n\cos\sqrt{n}\big)\frac{1}{(n^{2}+1)/n^{2}}.
Mas a forma mais simples é ver que \cos\sqrt{n} é limitada em módulo por 1 e que \dfrac{n}{n^{2}+1} tende a 0 com taxa dominada por 1/n. Assim o produto tende a 0. Isso reforça a conclusão do passo anterior.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0

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