Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que se discuta a convergência da sequência
Informações dadas e o que é pedido:
- A sequência é definida para
(inteiros positivos). - Queremos saber se
converge quando e, em caso afirmativo, qual é o limite.
Passo 2
Uma informação útil que temos (e que devo ensinar porque é fundamental) é que a função cosseno é sempre limitada entre
e
. Ou seja, para todo
vale
Isto vale também para
. Essa desigualdade será usada para controlar
.
Passo 3
Multiplicando a desigualdade do cosseno por
(um número positivo para
), obtemos uma desigualdade para
:
Em notação curta,
Passo 4
Agora vamos comparar
com algo cujo limite conhecemos bem. Para
tem-se
, então
Portanto, para
,
Passo 5
Lembrando um limite básico (que é importante saber):
Pelo passo anterior temos que
e
convergem ambos para
quando
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se uma sequência
e outra
convergem para o mesmo limite
e
para todo
suficiente grande, então
também converge para
. Aqui podemos tomar
,
(ambas tendendo a
) e usar a desigualdade do passo 4. Logo
Passo 7
Observação didática alternativa e muito útil na prova: existe um fato geral simples que pode ser usado em situações parecidas — se
e
é limitada (isto é, existe
tal que
para todo
), então
. Aqui podemos escrever
ou mais diretamente
Mas a forma mais simples é ver que
é limitada em módulo por
e que
tende a
com taxa dominada por
. Assim o produto tende a
. Isso reforça a conclusão do passo anterior.