Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=1+2+3+\cdots n

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n} definida por
a_{n}=1+2+3+\cdots+n
e pede para discutir a convergência dessa sequência (ou seja: determinar se ela converge para algum número finito, diverge para +\infty, diverge para -\infty, ou não tem limite).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra geral de a_{n} é a soma dos primeiros n inteiros positivos.
  • Não há informação adicional (como termo inicial diferente), então assume-se n\in\mathbb{N} e n\ge1.

Passo 2

Entendendo o que significa “convergir” ou “divergir” para sequência (rápido resumo didático).
  • Uma sequência (x_n) converge para um número finito L se, intuitivamente, os termos x_n ficam cada vez mais próximos de L quando n cresce. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N.
  • Dizemos que a sequência diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que x_n>M para todo n\ge N. Ou seja, os termos crescem sem limite superior.
  • Uma abordagem prática para testar convergência: (i) encontrar uma expressão fechada para a_n; (ii) verificar se essa expressão tende a um número finito ou cresce sem limite; (iii) mostrar monotonicidade e/ou falta de limite superior quando necessário.

Passo 3

Encontrar uma fórmula fechada para a_n (a soma dos primeiros n naturais). Vou derivar a fórmula clássica de forma direta (truque de Gauss, passo a passo).
Escrevendo a soma para frente e para trás:
S=a_n=1+2+3+\cdots+(n-1)+n,
S=a_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1.
Somando termo a termo as duas expressões (cada coluna soma n+1), obtemos 2S = n(n+1) porque há n colunas cada uma igual a n+1. Portanto:
2a_n = n(n+1)\quad\Rightarrow\quad a_n=\frac{n(n+1)}{2}.
Explicando cada símbolo: n é a posição do termo (natural), a_n é o valor da sequência no índice n.

Passo 4

Calcular valores iniciais e observar comportamento numérico (intuição).
  • Para n=1: a_1=\dfrac{1\cdot2}{2}=1.
  • Para n=2: a_2=\dfrac{2\cdot3}{2}=3.
  • Para n=3: a_3=\dfrac{3\cdot4}{2}=6.
  • Para n=4: a_4=\dfrac{4\cdot5}{2}=10.
    Os termos crescem: 1,3,6,10,\dots. Já dá para suspeitar que a sequência é crescente e que cresce bastante (ordem quadrática).

Passo 5

Mostrar monotonicidade (a sequência é estritamente crescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=(1+2+\cdots+n+(n+1))-(1+2+\cdots+n)=n+1.
Como n+1>0 para todo n\ge1, segue que a_{n+1}>a_n. Logo (a_n) é estritamente crescente.

Passo 6

Mostrar que a sequência é não limitada superiormente (ou seja, é ilimitada para cima) e, portanto, diverge para +\infty. Vou fazer uma prova formal usando a expressão fechada e a definição de divergência para +\infty.
Usando a fórmula obtida:
a_n=\frac{n(n+1)}{2}.
Observe que para n\ge1 temos n+1\ge n, então
a_n=\frac{n(n+1)}{2}\ge\frac{n\cdot n}{2}=\frac{n^{2}}{2}.
Tomemos um número arbitrário M>0. Queremos encontrar N tal que a_n>M para todo n\ge N. Como \dfrac{n^{2}}{2} cresce sem limite, basta escolher N com
\frac{N^{2}}{2}>M\quad\text{ou seja}\quad N>\sqrt{2M}.
Então, para todo n\ge N temos a_n\ge \dfrac{n^{2}}{2}\ge \dfrac{N^{2}}{2}>M. Isso prova que, para qualquer M, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N. Portanto (a_n) diverge para +\infty.

Passo 7

Resumo didático e interpretação prática (como responder na prova).
  • Resultado chave: a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Como a expressão tem ordem n^{2} quando n\to\infty, os termos crescem sem bound; mais formalmente, a_n\ge \dfrac{n^{2}}{2}\to+\infty.
  • Conclusão a escrever de forma breve na prova: "A sequência diverge para +\infty" ou “A sequência não converge (tende a +\infty)”.
    Dica amiga: sempre que aparecer soma dos primeiros n naturais, lembre-se do resultado \dfrac{n(n+1)}{2} — isso resolve a maior parte dos exercícios desse tipo.

Resposta

A sequência \{a_n\} com a_n=1+2+\cdots+n diverge para +\infty.

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