Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para discutir a convergência dessa sequência (ou seja: determinar se ela converge para algum número finito, diverge para
, diverge para
, ou não tem limite).
Informações relevantes fornecidas:
- A regra geral de
é a soma dos primeiros inteiros positivos. - Não há informação adicional (como termo inicial diferente), então assume-se
e .
Passo 2
Entendendo o que significa “convergir” ou “divergir” para sequência (rápido resumo didático).
- Uma sequência
converge para um número finito se, intuitivamente, os termos ficam cada vez mais próximos de quando cresce. Formalmente: para todo existe tal que para todo . - Dizemos que a sequência diverge para
se, para todo , existe tal que para todo . Ou seja, os termos crescem sem limite superior. - Uma abordagem prática para testar convergência: (i) encontrar uma expressão fechada para
; (ii) verificar se essa expressão tende a um número finito ou cresce sem limite; (iii) mostrar monotonicidade e/ou falta de limite superior quando necessário.
Passo 3
Encontrar uma fórmula fechada para
(a soma dos primeiros
naturais). Vou derivar a fórmula clássica de forma direta (truque de Gauss, passo a passo).
Escrevendo a soma para frente e para trás:
Escrevendo a soma para frente e para trás:
Somando termo a termo as duas expressões (cada coluna soma
), obtemos
porque há
colunas cada uma igual a
. Portanto:
Explicando cada símbolo:
é a posição do termo (natural),
é o valor da sequência no índice
.
Passo 4
Calcular valores iniciais e observar comportamento numérico (intuição).
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Os termos crescem:. Já dá para suspeitar que a sequência é crescente e que cresce bastante (ordem quadrática).
Passo 5
Mostrar monotonicidade (a sequência é estritamente crescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
Como
para todo
, segue que
. Logo
é estritamente crescente.
Passo 6
Mostrar que a sequência é não limitada superiormente (ou seja, é ilimitada para cima) e, portanto, diverge para
. Vou fazer uma prova formal usando a expressão fechada e a definição de divergência para
.
Usando a fórmula obtida:
Observe que para
temos
, então
Tomemos um número arbitrário
. Queremos encontrar
tal que
para todo
. Como
cresce sem limite, basta escolher
com
Então, para todo
temos
. Isso prova que, para qualquer
, existe
tal que
para todo
. Portanto
diverge para
.
Passo 7
Resumo didático e interpretação prática (como responder na prova).
- Resultado chave:
. - Como a expressão tem ordem
quando , os termos crescem sem bound; mais formalmente, . - Conclusão a escrever de forma breve na prova: "A sequência diverge para
" ou “A sequência não converge (tende a )”.
Dica amiga: sempre que aparecer soma dos primeirosnaturais, lembre-se do resultado — isso resolve a maior parte dos exercícios desse tipo.
Resposta
A sequência
com
diverge para
.