Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=(-1)^{n} \frac{n^{2}+2}{2 n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{n^{2}+2}{2n} e pede que a gente discuta a convergência dela.
Informações dadas:
  • Fórmula explícita de cada termo: \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{n^{2}+2}{2n}.
    Perguntas implícitas que vamos responder:
  • A sequência tem limite finito quando n\to\infty?
  • Se não convergir, qual é o comportamento (diverge para \pm\infty, oscila, etc.)?

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão para ver o comportamento dominante quando n cresce. Faça a divisão:
\frac{n^{2}+2}{2n}=\frac{n^{2}}{2n}+\frac{2}{2n}=\frac{n}{2}+\frac{1}{n}.
Portanto
a_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{n}\right).

Passo 3

Lembrete rápido (definição usada):
  • Uma sequência \{a_n\} converge para um número real L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Em termos de limite, escrevemos \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L.
  • Se |a_n|\to\infty, a sequência não pode convergir para um número finito: ela diverge (é não-convergente).
  • Uma técnica prática é estudar subsequências (por exemplo, termos pares e ímpares). Se duas subsequências têm limites distintos (ou um vai para +\infty e outro para -\infty), a sequência inteira não converge.

Passo 4

Calcular o valor absoluto de a_n para ver se os termos ficam grandes:
|a_n|=\left|\frac{n}{2}+\frac{1}{n}\right|=\frac{n}{2}+\frac{1}{n},
pois a soma é positiva para n\ge1. Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}=\infty e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty.
Logo os módulos dos termos crescem sem limite; portanto a sequência não pode convergir para um número real finito.

Passo 5

Analisar as subsequências pares e ímpares para ver o sinal e a direção do crescimento (isso dá a descrição completa do comportamento).
Para n=2k (termos pares):
a_{2k}=(-1)^{2k}\left(\frac{2k}{2}+\frac{1}{2k}\right)=1\cdot\left(k+\frac{1}{2k}\right).
Temos \displaystyle\lim_{k\to\infty}a_{2k}=\lim_{k\to\infty}\left(k+\frac{1}{2k}\right)=+\infty.

Passo 6

Para n=2k+1 (termos ímpares):
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\left(\frac{2k+1}{2}+\frac{1}{2k+1}\right)=-\left(\frac{2k+1}{2}+\frac{1}{2k+1}\right).
Escrevendo um pouco:
a_{2k+1}=-\left(k+\frac{1}{2}+\frac{1}{2k+1}\right),
e portanto
\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=-\infty.

Passo 7

Conclusão com interpretação: os termos pares tendem a +\infty e os termos ímpares tendem a -\infty. A sequência oscila entre valores muito positivos e muito negativos, sem aproximar-se de nenhum número real. Assim, a sequência diverge (não converge).
Um comentário amigo: isso significa que, conforme n cresce, os termos não se estabilizam — eles ficam cada vez maiores em módulo e mudam de sinal a cada vez, então não há limite finito. Você já chegou lá — é um caso clássico de divergência por oscilações com módulo crescente. Força nos estudos!

Resposta

A sequência diverge; mais precisamente \displaystyle a_{2k}\to+\infty e \displaystyle a_{2k+1}\to-\infty.

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