Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}
e pede que se discuta a convergência dela. Ou seja: verificar se existe algum número \ell tal que a_n\to\ell quando n\to\infty. Lista do que foi dado:
  • Fórmula explícita de a_n: a_{n}=\dfrac{1+(-1)^{n}}{2}.
  • Pergunta: a sequência converge? Se sim, para qual limite; se não, por que não?

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para entender o comportamento.
Para n=1: (-1)^1=-1, então
a_1=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0.
Para n=2: (-1)^2=1, então
a_2=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1.
Para n=3: (-1)^3=-1, logo a_3=0. Para n=4: a_4=1.
Portanto os termos são: 0,1,0,1,0,1,\dots — a sequência alterna entre 0 e 1.

Passo 3

A partir da alternância, podemos escrever explicitamente o valor dependendo da paridade de n:
  • Se n é par, então (-1)^n=1 e
a_n=\frac{1+1}{2}=1.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e
a_n=\frac{1-1}{2}=0.
Assim a sequência só assume os valores 0 e 1, alternando-os.

Passo 4

Vou lembrar a definição de convergência de sequência (de forma objetiva e útil para usar na prova):
A sequência (a_n) converge para \ell (escrevemos a_n\to\ell) se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale
|a_n-\ell|<\varepsilon.
Isto significa: depois de algum índice N, todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio \varepsilon centrada em \ell.

Passo 5

Uma maneira direta de mostrar que a sequência não converge é observar duas subsequências:
  • Subsequência dos índices pares: a_{2k}=1 para todo k, logo (a_{2k}) converge para 1.
  • Subsequência dos índices ímpares: a_{2k+1}=0 para todo k, logo (a_{2k+1}) converge para 0.
    Se uma sequência convergisse para algum limite \ell, então todas as suas subsequências também deveriam convergir para o mesmo \ell. Aqui encontramos duas subsequências com limites distintos ( 1 e 0), portanto a sequência original não pode convergir.

Passo 6

Faço uma prova formal por contradição usando a definição \varepsilon- N (muito útil na prova):
Suponha que exista \ell\in\mathbb{R} tal que a_n\to\ell. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Pela convergência, existe N tal que para todo n\ge N temos
|a_n-\ell|<\tfrac{1}{2}.
Escolha um n\ge N par; então a_n=1 e assim |1-\ell|<\tfrac{1}{2}. Escolha também um m\ge N ímpar; então a_m=0 e |0-\ell|<\tfrac{1}{2}. Pela desigualdade triangular,
1 = |1-0| \le |1-\ell| + |\ell-0| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1,
o que é uma contradição (não pode existir número menor que 1 que seja estritamente menor que 1). Logo não existe tal \ell, ou seja, a sequência não converge.

Passo 7

Resumo intuitivo e dica para prova em prova escrita: a sequência oscila entre 0 e 1 indefinidamente; como há sempre termos iguais a 0 e sempre termos iguais a 1 para índices arbitrariamente grandes, não existe um único número \ell que fique simultaneamente próximo de todos os termos a partir de algum índice. Uma escolha padrão para mostrar divergência é tomar \varepsilon=\tfrac{1}{2} e usar a contradição acima.

Resposta

A sequência diverge (não converge).
As subsequências a_{2k}=1 e a_{2k+1}=0 convergem, respectivamente, para 1 e para 0, mostrando a falta de convergência da sequência original.

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