Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que se discuta a convergência dela. Ou seja: verificar se existe algum número
tal que
quando
. Lista do que foi dado:
- Fórmula explícita de
: . - Pergunta: a sequência converge? Se sim, para qual limite; se não, por que não?
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para entender o comportamento.
Para :
, então
Para
Para
:
, então
Para
:
, logo
. Para
:
.
Portanto os termos são: — a sequência alterna entre
e
.
Portanto os termos são:
Passo 3
A partir da alternância, podemos escrever explicitamente o valor dependendo da paridade de
:
- Se
é par, então e
- Se
é ímpar, então e
Assim a sequência só assume os valores
e
, alternando-os.
Passo 4
Vou lembrar a definição de convergência de sequência (de forma objetiva e útil para usar na prova):
A sequência converge para
(escrevemos
) se, e somente se, para todo
existe
tal que para todo
vale
A sequência
Isto significa: depois de algum índice
, todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio
centrada em
.
Passo 5
Uma maneira direta de mostrar que a sequência não converge é observar duas subsequências:
- Subsequência dos índices pares:
para todo , logo converge para . - Subsequência dos índices ímpares:
para todo , logo converge para .
Se uma sequência convergisse para algum limite, então todas as suas subsequências também deveriam convergir para o mesmo . Aqui encontramos duas subsequências com limites distintos ( e ), portanto a sequência original não pode convergir.
Passo 6
Faço uma prova formal por contradição usando a definição
-
(muito útil na prova):
Suponha que exista tal que
. Tome
. Pela convergência, existe
tal que para todo
temos
Suponha que exista
Escolha um
par; então
e assim
. Escolha também um
ímpar; então
e
. Pela desigualdade triangular,
o que é uma contradição (não pode existir número menor que
que seja estritamente menor que
). Logo não existe tal
, ou seja, a sequência não converge.
Passo 7
Resumo intuitivo e dica para prova em prova escrita: a sequência oscila entre
e
indefinidamente; como há sempre termos iguais a
e sempre termos iguais a
para índices arbitrariamente grandes, não existe um único número
que fique simultaneamente próximo de todos os termos a partir de algum índice. Uma escolha padrão para mostrar divergência é tomar
e usar a contradição acima.
Resposta
A sequência diverge (não converge).
As subsequências e
convergem, respectivamente, para
e para
, mostrando a falta de convergência da sequência original.
As subsequências