ou seja, no denominador está o produto dos números ímpares 3,5,7,\dots,2n+1. A pergunta é: a série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty a_n converge ou diverge?
Passo 2
Escolho aplicar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) porque os termos são dados por produtos/fatoriais e esse teste costuma simplificar bastante nesses casos. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1} e calculo a razão:
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Intuição curta: se L<1 então, a partir de algum N, a razão |a_{n+1}/a_n| fica menor que algum r com L<r<1, e assim os termos satisfazem |a_n|\le C r^n para n\ge N, comparando com uma série geométrica que converge.
No nosso caso encontramos L=\tfrac{1}{2}<1. Logo, por este teste, a série converge absolutamente. Como todos os a_n são positivos, dizer “converge absolutamente” é equivalente a dizer simplesmente “converge”.
Se quiser ver a comparação explícita: escolha r tal que \tfrac{1}{2}<r<1. Como \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\tfrac{1}{2}, existe N tal que para todo n\ge N vale \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Assim, para n\ge N,
a_n \le a_N\, r^{\,n-N},
e \sum_{n=N}^\infty a_N r^{\,n-N}=a_N\sum_{m=0}^\infty r^m é uma série geométrica convergente. Portanto a cauda da série original converge, logo a série inteira converge.
Passo 5
Resumo final e observações rápidas: a razão entre termos consecutivos tende para \tfrac{1}{2}, que é menor que 1. Pelo teste da razão a série converge absolutamente, logo converge. Se quiser, dá para afirmar também que os termos vão a zero exponencialmente no sentido de serem majorados por uma geometria com razão próxima de \tfrac{1}{2}.