Discuta a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3.5 .7 \ldots(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}
e pede para discutir a convergência. Informação importante que vou usar: o termo geral pode ser escrito convenientemente como
a_n=\frac{n!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k+1)},
ou seja, no denominador está o produto dos números ímpares 3,5,7,\dots,2n+1. A pergunta é: a série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty a_n converge ou diverge?

Passo 2

Escolho aplicar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) porque os termos são dados por produtos/fatoriais e esse teste costuma simplificar bastante nesses casos. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1} e calculo a razão:
a_n=\frac{n!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k+1)}, \qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)}.
Agora a razão entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)}\cdot\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k+1)}{n!} = \frac{n+1}{2n+3}.

Passo 3

Calculo o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+3}.
Dividindo numerador e denominador por n
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+3} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{3}{n}}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite da razão é 1/2.

Passo 4

Vou explicar o que o teste da razão diz e aplicar aqui de forma didática. O teste da razão (d’Alembert) afirma:
se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Intuição curta: se L<1 então, a partir de algum N, a razão |a_{n+1}/a_n| fica menor que algum r com L<r<1, e assim os termos satisfazem |a_n|\le C r^n para n\ge N, comparando com uma série geométrica que converge.
No nosso caso encontramos L=\tfrac{1}{2}<1. Logo, por este teste, a série converge absolutamente. Como todos os a_n são positivos, dizer “converge absolutamente” é equivalente a dizer simplesmente “converge”.
Se quiser ver a comparação explícita: escolha r tal que \tfrac{1}{2}<r<1. Como \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\tfrac{1}{2}, existe N tal que para todo n\ge N vale \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Assim, para n\ge N,
a_n \le a_N\, r^{\,n-N},
e \sum_{n=N}^\infty a_N r^{\,n-N}=a_N\sum_{m=0}^\infty r^m é uma série geométrica convergente. Portanto a cauda da série original converge, logo a série inteira converge.

Passo 5

Resumo final e observações rápidas: a razão entre termos consecutivos tende para \tfrac{1}{2}, que é menor que 1. Pelo teste da razão a série converge absolutamente, logo converge. Se quiser, dá para afirmar também que os termos vão a zero exponencialmente no sentido de serem majorados por uma geometria com razão próxima de \tfrac{1}{2}.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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