Discuta as formas escalonadas reduzidas por linhas possíveis de
\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar todas as formas escalonadas reduzidas por linhas (RREF) que uma matriz genérica
M = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
pode assumir, dependendo do posto (rank) de M. Vamos usar a definição de forma escalonada reduzida por linhas: em cada linha não-nula o primeiro elemento não-nulo é 1 (pivô), cada pivô é o único elemento não-zero em sua coluna, as linhas nulas ficam abaixo das não-nulas, e os pivôs avançam para a direita à medida que descemos.

Passo 2

Caso \mathrm{rank}(M)=3, não há variáveis livres: todos os três pivôs ocupam as colunas 1,2,3. A RREF é obrigatoriamente a matriz identidade 3\times3:
\mathrm{RREF}(M)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Caso \mathrm{rank}(M)=2, existem exatamente dois pivôs e uma coluna livre. As posições dos pivôs podem ser:
  1. colunas 1 e 2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ast\\\\ 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix};
  1. colunas 1 e 3:
\begin{pmatrix} 1 & \ast & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix};
  1. colunas 2 e 3:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em cada caso, os símbolos \ast representam valores livres arbitrários.

Passo 4

Caso \mathrm{rank}(M)=1, há um único pivô e duas colunas livres. As três possibilidades são:
  1. pivô na coluna 1:
\begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix};
  1. pivô na coluna 2:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix};
  1. pivô na coluna 3:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Caso \mathrm{rank}(M)=0, todos os elementos são nulos e a única RREF possível é a matriz zero:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

As formas escalonadas reduzidas por linhas possíveis de uma matriz 3\times3 genérica são:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ast\\\\ 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & \ast & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ast\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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