Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 18 soluções se 0 \leq \alpha \leq 2 \pi, 0 \leq \beta \leq 2 \pi e 0 \leq \gamma<2 \pi.
\begin{array}{r} \operatorname{sen} \alpha+2 \cos \beta+3 \operatorname{tg} \gamma=0 \\\\ 2 \operatorname{sen} \alpha+5 \cos \beta+3 \operatorname{tg} \gamma=0 \\\\ -\operatorname{sen} \alpha-5 \cos \beta+5 \operatorname{tg} \gamma=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} \sin\alpha + 2\cos\beta + 3\tan\gamma = 0,\\\\ 2\sin\alpha + 5\cos\beta + 3\tan\gamma = 0,\\\\ -\sin\alpha -5\cos\beta + 5\tan\gamma = 0, \end{cases}
com as incógnitas \alpha, \beta, \gamma em intervalos de comprimento 2\pi. Para resolver, vamos introduzir
X = \sin\alpha,\quad Y = \cos\beta,\quad Z = \tan\gamma
e usar álgebra linear para achar (X,Y,Z), depois voltamos a resolver as equações trigonométricas em cada variável no seu intervalo dado.

Passo 2

Em termos de (X,Y,Z)\) o sistema fica \[\begin{cases} X + 2Y + 3Z = 0,\\\\ 2X + 5Y + 3Z = 0,\\\\ -\,X -5Y + 5Z = 0. \end{cases}
Escrevendo em forma matricial A\,(X,Y,Z)^T=0\], calculamos o determinante de \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 5 & 3\\\\ -1 & -5 & 5 \end{pmatrix}.\] Fazendo desenvolvimento pela primeira linha, \[\det A = 1\cdot(5\cdot5 - 3\cdot(-5)) - 2\cdot(2\cdot5 - 3\cdot(-1)) + 3\cdot(2\cdot(-5) - 5\cdot(-1)) = 40 - 26 -15 = -1 \neq 0.\] Como \(\det A\neq0, a única solução é X=0,\;Y=0,\;Z=0.

Passo 3

Agora impomos
\sin\alpha = 0,\quad \cos\beta = 0,\quad \tan\gamma = 0
e contamos quantas soluções cada uma dessas equações tem no seu intervalo.
Para \sin\alpha=0 com 0\le\alpha\le2\pi, as soluções são
\alpha = 0,\;\pi,\;2\pi\quad(\text{3 valores}).
Para \cos\beta=0 com 0\le\beta\le2\pi, as soluções são
\beta = \tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\quad(\text{2 valores}).
Para \tan\gamma=0 com 0\le\gamma<2\pi, buscamos \sin\gamma=0 e \cos\gamma\neq0; isso dá
\gamma = 0,\;\pi\quad(\text{2 valores}).

Passo 4

Cada escolha de \alpha independe das escolhas de \beta e \gamma, logo o total de soluções é
3 \times 2 \times 2 = 12.

Resposta

O sistema tem 12 soluções no domínio dado.

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