O que precisamos é determinar quando o sistema tem única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e, nos casos degenerados, verificar a consistência analisando combinações lineares das equações.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = 2 & 1 & 1 alpha & 3 & 2 2 & 1 & alpha+1
Calculamos
det A =2det3&21&alpha+1 -1detalpha&22&alpha+1 +1detalpha&32&1
Fazendo as contas surge
det A = -alpha(alpha-6)=alpha(6-alpha)
Logo, se alphaneq0 e alphaneq6, então det Aneq0 e o sistema tem única solução para todo beta.
Passo 3
Agora consideramos alpha=0. As duas primeiras equações passam a ser
2x+y+z=-6beta, 3y+2z=2beta,
e a terceira é
2x+y+z=4
Observe que a primeira e a terceira têm o mesmo lado esquerdo. Para termos coerência precisamos de
-6beta = 4Long<=ftrightarrow beta = -tfrac23
Se betaneq -tfrac23, essas duas equações entram em contradição e o sistema é incompatível (sem solução). Se beta=-tfrac23, elas se tornam a mesma equação e ficamos com duas equações independentes em três incógnitas, dando infinitas soluções. Tomando z=t como parâmetro, das equações
3y+2t=2(-tfrac23)=-tfrac43 e 2x+y+t=4
vem
y = -tfrac49 - tfrac23,t, x = 4 - y - t2 = tfrac209 - tfract6
Passo 4
Finalmente, para alpha=6 o sistema fica
2x+y+z=-6beta, 6x+3y+2z=2beta, 2x+y+7z=4
Subtraindo 3 vezes a primeira da segunda e subtraindo a primeira da terceira, obtemos
Se betaneq -tfrac263, não há solução. Se beta=-tfrac263, as três equações reduzem-se a duas independentes e novamente há infinitas soluções. Tomando x=t, as relações levam a
y = -tfrac49 - 2t, z = 4063
Resposta
Para alphaneq0,6 o sistema é compatível determinado (única solução) para qualquer beta.
Para alpha=0 e beta=-tfrac23 é compatível indeterminado (infinitas soluções); se alpha=0 e betaneq-tfrac23 é incompatível (sem solução).
Para alpha=6 e beta=-tfrac263 é compatível indeterminado; se alpha=6 e betaneq-tfrac263 é incompatível.