Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
Discuta o movimento de um fluido com potencial complexo \Omega(z)=V_{0}\left(z+\frac{a^{2}}{z}\right)+\frac{i \gamma}{2 \pi} \ln z.

Passo 1

O enunciado apresenta o potencial complexo
\Omega(z)=V_{0}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr)+\frac{i\,\gamma}{2\pi}\ln z
que combina três componentes: fluxo uniforme de velocidade V_{0}, dipolo de intensidade V_{0}a^{2} e um vórtice de circulação \gamma no ponto z=0. Para discutir o movimento do fluido, vamos extrair o potencial de velocidade \varphi e a função corrente \psi, obter os campos de velocidade, aplicar a condição de não penetração na superfície do cilindro de raio a, localizar os pontos de estagnação, obter a distribuição de pressão e, por fim, calcular a força de sustentação usando o teorema de Kutta–Joukowski.

Passo 2

Separe \Omega(z) em parte real \varphi (potencial de velocidade) e parte imaginária \psi (função corrente). Escrevendo z=re^{i\theta} e usando
\ln z = \ln r + i\theta,
temos
\varphi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r\cos\theta+\frac{a^{2}}{r}\cos\theta\Bigr) -\frac{\gamma}{2\pi}\,\theta,
\psi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r\sin\theta-\frac{a^{2}}{r}\sin\theta\Bigr) +\frac{\gamma}{2\pi}\,\ln r.

Passo 3

O campo de velocidade complexa é dado por
w(z)=\frac{d\Omega}{dz} =V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{z^{2}}\Bigr) +\frac{i\,\gamma}{2\pi\,z}.
Em coordenadas polares, w = v_{r}-i\,v_{\theta}, de modo que
v_{r}(r,\theta) =V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta, \qquad v_{\theta}(r,\theta) =-V_{0}\Bigl(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta +\frac{\gamma}{2\pi\,r}.

Passo 4

Na superfície rígida do cilindro r=a a velocidade normal deve anular-se:
v_{r}(a,\theta)=0\quad\forall\,\theta,
o que se verifica automaticamente na expressão acima. Assim a condição de contorno está satisfeita, confirmando que o fluxo passa tangencialmente ao cilindro.

Passo 5

Os pontos de estagnação satisfazem w(z)=0. Multiplicando por z^{2} e rearranjando, obtém-se
V_{0}\bigl(z^{2}-a^{2}\bigr)+\frac{i\,\gamma}{2\pi}\,z=0,
que é uma equação quadrática em z. As soluções são
z =\frac{-\,i\,\gamma/(2\pi)\pm\sqrt{-(\gamma/2\pi)^{2}+4V_{0}^{2}a^{2}}}{2V_{0}}.
Se \gamma=0 aparecem dois pontos de estagnação em z=\pm a ( \theta=0 e π). Para \gamma\neq0 eles deslocam-se no contorno r=a, com ângulos
\theta_{\text{stag}} =\operatorname{arccos}\!\Bigl(-\frac{\gamma}{4\pi V_{0}a}\Bigr).

Passo 6

Pela equação de Bernoulli,
p + \tfrac12\,\rho\,|\mathbf{v}|^{2} =p_{\infty}+\tfrac12\,\rho\,V_{0}^{2},
define-se o coeficiente de pressão
C_{p}(\theta) =\frac{p(\theta)-p_{\infty}}{\tfrac12\rho V_{0}^{2}} =1-\Bigl(\frac{|\mathbf{v}(a,\theta)|}{V_{0}}\Bigr)^{2}.

Passo 7

A força de sustentação por unidade de comprimento sobre o cilindro é dada pelo teorema de Kutta–Joukowski:
L'=\rho\,V_{0}\,\gamma.

Resposta

O potencial dado representa o escoamento uniforme V_{0}, acrescido de dipolo de intensidade V_{0}a^{2} que faz o escoamento contornar um cilindro de raio a, e de um vórtice de circulação \gamma em z=0. As expressões para \varphi e \psi mostram como fluem as linhas de corrente; a condição v_{r}(a,\theta)=0 garante impermeabilidade no cilindro. Os pontos de estagnação resultam da solução de w(z)=0 e situam-se no contorno r=a, com ângulos que dependem de \gamma. A distribuição de pressão segue de Bernoulli, e a sustentação é
L'=\rho\,V_{0}\,\gamma.

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