Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
Discuta o movimento de um fluido com potencial complexo
.
Discuta o movimento de um fluido com potencial complexo
Passo 1
O enunciado apresenta o potencial complexo
que combina três componentes: fluxo uniforme de velocidade
, dipolo de intensidade
e um vórtice de circulação
no ponto
. Para discutir o movimento do fluido, vamos extrair o potencial de velocidade
e a função corrente
, obter os campos de velocidade, aplicar a condição de não penetração na superfície do cilindro de raio
, localizar os pontos de estagnação, obter a distribuição de pressão e, por fim, calcular a força de sustentação usando o teorema de Kutta–Joukowski.
Passo 2
Separe
em parte real
(potencial de velocidade) e parte imaginária
(função corrente). Escrevendo
e usando
temos
Passo 3
O campo de velocidade complexa é dado por
Em coordenadas polares,
, de modo que
Passo 4
Na superfície rígida do cilindro
a velocidade normal deve anular-se:
o que se verifica automaticamente na expressão acima. Assim a condição de contorno está satisfeita, confirmando que o fluxo passa tangencialmente ao cilindro.
Passo 5
Os pontos de estagnação satisfazem
. Multiplicando por
e rearranjando, obtém-se
que é uma equação quadrática em
. As soluções são
Se
aparecem dois pontos de estagnação em
(
e π). Para
eles deslocam-se no contorno
, com ângulos
Passo 6
Pela equação de Bernoulli,
define-se o coeficiente de pressão
Passo 7
A força de sustentação por unidade de comprimento sobre o cilindro é dada pelo teorema de Kutta–Joukowski:
Resposta
O potencial dado representa o escoamento uniforme
, acrescido de dipolo de intensidade
que faz o escoamento contornar um cilindro de raio
, e de um vórtice de circulação
em
. As expressões para
e
mostram como fluem as linhas de corrente; a condição
garante impermeabilidade no cilindro. Os pontos de estagnação resultam da solução de
e situam-se no contorno
, com ângulos que dependem de
. A distribuição de pressão segue de Bernoulli, e a sustentação é