Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
Discuta o movimento de um fluido com potencial complexo \Omega(z)=V_{0}\left(z+\frac{a^{2}}{z}\right)+\frac{i \gamma}{2 \pi} \ln z.
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial complexo
\Omega(z)=V_{0}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr)+\frac{i\,\gamma}{2\pi}\ln z
que representa a superposição de três escoamentos bidimensionais:
– um escoamento uniforme de velocidade V_{0} ao longo do eixo real,
– um dipolo (duplo fluxo) de intensidade V_{0}a^{2} em z=0,
– um vórtice de circulação \gamma em z=0.
O objetivo é usar teoria de escoamentos potenciais: extrair a parte real e imaginária (potencial e corrente), obter o campo de velocidades, analisar a superfície do cilindro, localizar pontos de estagnação e calcular a força de sustentação via Kutta–Joukowski.
Da equação \sin\theta=\gamma/(4\pi V_{0}a) surgem três regimes para os pontos de estagnação: – Se \bigl|\gamma\bigr|<4\pi V_{0}a, há dois pontos de estagnação simétricos em \theta=\arcsin\bigl(\gamma/(4\pi V_{0}a)\bigr) e \pi-\arcsin\bigl(\gamma/(4\pi V_{0}a)\bigr). – Se \bigl|\gamma\bigr|=4\pi V_{0}a, esses dois pontos se fundem num único, caracterizando ângulo crítico de desprendimento. – Se \bigl|\gamma\bigr|>4\pi V_{0}a, não há solução real e não existe estagnação no contorno (fluxo se desprende).
Passo 7
Pela equação de Bernoulli e o teorema de Kutta–Joukowski, a força de sustentação por unidade de comprimento é
L'=\rho_{\infty}\,V_{0}\,\gamma,
onde \rho_{\infty}$ é a densidade do fluido à distância infinita.éàâ
Resposta
O escoamento descrito por \Omega(z)=V_{0}\bigl(z+a^{2}/z\bigr)+(i\gamma/2\pi)\ln z
corresponde a fluxo uniforme + dipolo + vórtice em torno de um cilindro de raio a. A superfície impermeável é r=a. Os pontos de estagnação na superfície satisfazem \sin\theta=\gamma/(4\pi V_{0}a),
o que gera dois, um ou nenhum ponto conforme \bigl|\gamma\bigr|<,=,>4\pi V_{0}a. A sustentação por unidade de comprimento é L'=\rho_{\infty}V_{0}\gamma.