Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
Discuta o movimento de um fluido com potencial complexo \Omega(z)=V_{0}\left(z+\frac{a^{2}}{z}\right)+\frac{i \gamma}{2 \pi} \ln z.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial complexo
\Omega(z)=V_{0}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr)+\frac{i\,\gamma}{2\pi}\ln z
que representa a superposição de três escoamentos bidimensionais:
– um escoamento uniforme de velocidade V_{0} ao longo do eixo real,
– um dipolo (duplo fluxo) de intensidade V_{0}a^{2} em z=0,
– um vórtice de circulação \gamma em z=0.
O objetivo é usar teoria de escoamentos potenciais: extrair a parte real e imaginária (potencial e corrente), obter o campo de velocidades, analisar a superfície do cilindro, localizar pontos de estagnação e calcular a força de sustentação via Kutta–Joukowski.

Passo 2

Escrevendo \Omega=\varphi+i\psi com z=x+iy, temos
\varphi(x,y)=V_{0}\Re\!\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr), \quad \psi(x,y)=V_{0}\Im\!\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr)+\frac{\gamma}{2\pi}\ln|z|.
O campo de velocidade complexo é
V(z)=\frac{d\Omega}{dz} =V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{z^{2}}\Bigr)+\frac{i\,\gamma}{2\pi\,z}.

Passo 3

Em coordenadas polares z=re^{i\theta}, defina
u_r=\Re\bigl(e^{-i\theta}V(z)\bigr), \quad u_\theta=-\Im\bigl(e^{-i\theta}V(z)\bigr).
Fazendo as contas:
u_r =V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta, \quad u_\theta =-V_{0}\Bigl(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta +\frac{\gamma}{2\pi\,r}.
A função corrente em polares é
\psi(r,\theta) =V_{0}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta +\frac{\gamma}{2\pi}\ln r.

Passo 4

Para obediência à condição de não penetração na superfície do cilindro, impõe-se u_r=0. Como
u_r=V_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta,
temos u_r=0 em r=a. Logo, a curva r=a é impermeável e corresponde à superfície do cilindro (é uma corrente \psi= constante).

Passo 5

Pontos de estagnação satisfazem simultaneamente u_r=0 e u_\theta=0. No contorno r=a já vale a primeira condição; a segunda dá
-2V_{0}\sin\theta+\frac{\gamma}{2\pi\,a}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta=\frac{\gamma}{4\pi\,V_{0}a}.

Passo 6

Da equação \sin\theta=\gamma/(4\pi V_{0}a) surgem três regimes para os pontos de estagnação:
Se \bigl|\gamma\bigr|<4\pi V_{0}a, há dois pontos de estagnação simétricos em \theta=\arcsin\bigl(\gamma/(4\pi V_{0}a)\bigr) e \pi-\arcsin\bigl(\gamma/(4\pi V_{0}a)\bigr).
Se \bigl|\gamma\bigr|=4\pi V_{0}a, esses dois pontos se fundem num único, caracterizando ângulo crítico de desprendimento.
Se \bigl|\gamma\bigr|>4\pi V_{0}a, não há solução real e não existe estagnação no contorno (fluxo se desprende).

Passo 7

Pela equação de Bernoulli e o teorema de Kutta–Joukowski, a força de sustentação por unidade de comprimento é
L'=\rho_{\infty}\,V_{0}\,\gamma,
onde \rho_{\infty}$ é a densidade do fluido à distância infinita.éàâ

Resposta

O escoamento descrito por \Omega(z)=V_{0}\bigl(z+a^{2}/z\bigr)+(i\gamma/2\pi)\ln z
corresponde a fluxo uniforme + dipolo + vórtice em torno de um cilindro de raio a. A superfície impermeável é r=a. Os pontos de estagnação na superfície satisfazem \sin\theta=\gamma/(4\pi V_{0}a),
o que gera dois, um ou nenhum ponto conforme \bigl|\gamma\bigr|<,=,>4\pi V_{0}a. A sustentação por unidade de comprimento é L'=\rho_{\infty}V_{0}\gamma.

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